Математичний формалізм

Для задачі навчання паулівського шуму для набору гейтів Кліффорда поширеною технікою аналізу є відстеження того, як окремі паулівські оператори перетворюються послідовністю застосувань гейтів (за припущення, що гейти є кліффордовими, а шум — паулівським каналом, один оператор Паулі завжди відображається в інший оператор Паулі з точністю до скаляра, що залежить від шуму). Очевидно, еволюцію будь-якого стану під такою послідовністю можна описати лінійною комбінацією таких траєкторій, але за припущення, що ми завжди готуємо стан як власний стан Паулі, а також завжди вимірюємо й обробляємо результати для обчислення очікуваного значення оператора Паулі, зв’язок між очікуваним значенням і параметрами моделі шуму завжди залежатиме лише від однієї такої траєкторії. Це випливає з простого факту, що початковий стан є лінійною комбінацією операторів Паулі, кожен гейт і модель шуму відображають оператори Паулі на оператори Паулі та зберігають їхню ортогональність, а кінцеве очікуване значення «вибирає» лише один із операторів Паулі в кінцевому розкладі перед вимірюванням.

Такий тип міркувань з’являється в багатьох паралельних напрямках досліджень навчання шуму, зокрема в літературі про навчання паулівських наборів гейтів [1, 2], літературі про ACES [3] та літературі про циклічне бенчмаркінґування [4]. Ці міркування були узагальнені в [5] для включення гейтів Clifford-MCM (гейт Кліффорда з наступним проєктивним проміжним вимірюванням у схемі). Цей пакет найближче слідує [1, 5]. Хоча це явно не названо, ми застосовуємо формалізм Pattern Transfer Graph (PTG) для опису того, як оператори Паулі еволюціонують через навчальні схеми, що дає пряме представлення даних про шляхи графом.

Нижче наведено огляд деяких ключових математичних понять із літератури. Він насамперед призначений для узгодження позначень і слугує концептуальним довідковим матеріалом для решти пакета.

1. Передумови

1.1 Позначення

Для $K \in \mathbb{N}$ нехай $[K] = \{0, 1, \dots, K - 1\}$. Для скінченної множини $S \subset \mathbb{N}$ індексів кубітів нехай $\mathcal{P}^S$ позначає множину нефазових операторів Паулі, що діють на ці кубіти. Зауваж, що ми розглядаємо елементи $\mathcal{P}^S$ як функції, що відображають $S \rightarrow \{I, X, Y, Z\}$, так що для будь-яких $P \in \mathcal{P}^S$ і $T \subseteq S$ запис $P|_T$ означає обмеження $P$ на підмножину кубітів $T$. У цьому дусі для неперетинних множин $S, T$ та $P \in \mathcal{P}^S$ і $Q \in \mathcal{P}^T$ запис $P \otimes Q$ означає елемент $\mathcal{P}^{S \cup T}$, такий що $P \otimes Q |_S = P$ і $P \otimes Q |_T = Q$. Це позначення корисне, щоб не мати справи явно з порядком підсистем і щоб легко описувати обмеження.

Для скінченних підмножин $M \subset \mathbb{N}$ ми позначаємо $\mathbb{Z}_2^M$ множину бітових рядків, елементи яких індексуються за $M$. Аналогічно до вищесказаного, ми розглядаємо елементи як функції, що відображають $M \rightarrow \mathbb{Z}_2$, щоб легко описувати підрядки через обмеження множини індексів.

Нарешті, для матриці $X$ ми використовуємо $| X \rangle\!\rangle$ для позначення її векторизації. З огляду на обмежений спосіб, у який ми використовуємо це позначення, насправді не обов’язково обирати конкретну конвенцію векторизації. Для класичного бітового рядка $m$ ми використовуємо скорочення $| m \rangle\!\rangle = | | m \rangle\langle m | \rangle\!\rangle$.

1.2 Квантові інструменти

Квантова операція, що видає класичні біти $m \in \mathbb{Z}_2^M$ (наприклад, результат вимірювання), загалом моделюється як лінійне відображення вигляду:

$$\rho \mapsto \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m(\rho) \otimes | m \rangle\langle m |,$$

де множина $\{\mathcal{E}_m: m \in \mathbb{Z}_2^M\}$ складається з цілком додатних відображень, а $\sum_m \mathcal{E}_m$ зберігає слід. Набір цілком додатних відображень $\{\mathcal{E}_m\}$, що задовольняють ці властивості, називається квантовим інструментом. Унітарний гейт — це окремий випадок інструмента лише з одним елементом, який є унітарною операцією.

2. Зашумлені гейти Clifford-MCM-reset

Формалізм, що використовується в цьому пакеті, припускає, що кожен гейт у наборі гейтів, який потрібно схарактеризувати, складається з такої послідовності операцій на $K$ кубітах:

1. Операція Кліффорда на всіх кубітах.

2. Проміжне проєктивне вимірювання вздовж $Z$ на деякій підмножині кубітів $M \subseteq [K]$.

3. Проміжне скидання в основний стан $Z$ на деякій підмножині кубітів $R \subseteq [K]$.

Це загальний клас операцій, що включає унітарні гейти Кліффорда, вимірювання, підготовку стану та будь-яку комбінацію наведеного. Зауваж, що ми припускаємо, що вимірювання та скидання завжди відбуваються вздовж осі $Z$ для кожного кубіта. Хоча це не є строго обов’язковим, це поширена риса багатьох модальностей квантових обчислень, яка дозволяє спростити представлення та аналіз.

Як описано в [5, 6] для випадку без скидання, якщо до зашумленого екземпляра такого гейта застосовано певну стратегію твірлінгу, то дію отриманої операції можна математично змоделювати як рівномірний паулівський інструмент. Тобто в позначеннях квантового інструмента $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$, де $G$ — унітарна операція Кліффорда, а:

$$\mathcal{U}_m = \sum_{a,b \in \mathbb{Z}_2^M} \Lambda_{a,b} \otimes | m + a \rangle\!\rangle\langle\!\langle m + b |,$$

де кожне $\Lambda_{a,b}$ є субнормованим паулівським каналом на невимірюваних кубітах $N = [K] \setminus M$. З того, що це квантовий інструмент, випливає, що $\sum_{a,b} \Lambda_{a,b}$ також зберігає слід. Деякі зауваження:

• Початковий нескручений шум моделюється так, щоб включати як «квантові», так і «класичні» помилки: хибні операції над квантовими регістрами, а також помилки у звітуванні значення вимірювання.

• Відображення шуму $\Lambda_{a,b}$ є незалежним від результату вимірювання $m$.

Словами, один доданок у наведеній вище сумі представляє спостереження результату вимірювання $m$, коли виміряним станом був $| m + b \rangle$ (хибна класифікація, якщо $b \neq 0$), і коли вихідним станом на регістрі вимірювання є $| m + a \rangle$ («хибний» стан, коли $a \neq 0$). Відображення $\Lambda_{a,b}$ одночасно кодує дію на невимірювані кубіти (залежно від поведінки вимірювання) та ймовірність конкретної поведінки вимірювання (через нормування).

Зауваж, що тут нас не цікавлять подробиці стратегії твірлінгу: достатньо того, що така стратегія існує й приводить канал до наведеної форми. Зауваж, що існують «тонші» стратегії твірлінгу, які можуть додатково обмежити форму паулівських каналів [7]; однак ми беремо наведену форму як найзагальніше математичне представлення, що розглядається.

У лемі 1 з [5] показано, що $\mathcal{E}_m = \mathcal{U}_mG$ можна переписати як:

$$\mathcal{E}_m = \frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{x, y \in \mathbb{Z}_2^M, Q \in \mathcal{P}^N} (-1)^{m \cdot (x + y)} \lambda^Q_{x, y}| Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes Z^x) |.$$

для деяких дійсних чисел $\lambda_{x,y}^Q$, які називаються точностями (fidelities) інструмента.

Додати скидання до цієї картини відносно просто. Зашумлену операцію скидання на кубітах $R \subset [K]$ можна змоделювати за розкладом:

$$\frac{1}{2^{|R|}}\sum_{r \in \mathbb{Z}_2^{R}} \lambda_r | Z^r \rangle\!\rangle\langle\!\langle I_R |.$$

Наведена форма явно використовує припущення, що скидання відбувається вздовж осі $Z$ для кожного кубіта. Шум в операції закодований у точностях скидання $\lambda_r$, які просто індексуються підмножинами кубітів.

Аналог рівняння (1), що включає операцію скидання в кінці, можна отримати, просто скомпонувавши його з рівнянням (2). Ця композиція після деякого спрощення дає:

$$\begin{split} \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} (-1)^{m \cdot (x + y|_M)} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |. \end{split}$$

Цей розклад показує, що кількість точностей $\lambda^Q_{x, y}$ дорівнює

$$4^{|N \setminus R|} 2^{|M|}2^{|M \cup R|} = 4^{K}2^{|M|}2^{-|M \cup R|} = 4^K 2^{-|R \setminus M|}.$$

Розглянемо граничні випадки: (1) Без вимірювання та скидання $M = R = \emptyset$, і вираз дає $4^K$ — кількість безфазових операторів Паулі на $K$ кубітах. (2) Для $M = \emptyset$ і $R=[K]$ це дає $2^K$, що є кількістю підмножин $[K]$. Нарешті, (3) для $M = [K]$ і $R = \emptyset$ це дає $4^K$. Зауваж, що спочатку це може здатися дивним: у стандартному навчанні вимірювання та скидання зазвичай вважаються такими, що мають однакову кількість точностей: $2^K$. Однак тут гейт повного вимірювання в цьому контексті розуміється не як кінцеве вимірювання, а як MCM, і тому точності, що відповідають нетривіальним виходам вимірювання, також включені (наприклад, $y \neq 0$ у рівнянні (3)).

Нарешті, важливо зазначити, що будь-яка стратегія твірлінгу, яка дає форму з рівняння (1) у випадку без скидання, так само застосовна до нетривіального випадку зі скиданням з простою модифікацією. Потенційна проблема полягає в тому, що така стратегія твірлінгу може вимагати операцій на виміряних кубітах після вимірювання. Тому, якщо кубіт вимірюється і скидається, реалізація стратегії, схоже, вимагає вставлення операцій всередині гейта між вимірюванням і скиданням. Однак через природу скидання будь-які такі операції не мають жодного ефекту, і їх можна просто пропустити, все одно отримавши ту саму бажану структуру.

3. Формалізм шляхів

Як описано у вступі, усі алгоритми навчання для шуму паулівського типу на гейтах Кліффорда ґрунтуються на відстеженні того, як окремі оператори Паулі еволюціонують через схему, набираючи по дорозі множники точності шуму. Очікувані значення схеми, складеної з таких гейтів, тому просто пов’язані з добутками базових точностей окремих гейтів, і таким чином параметри моделі можна вивести інвертуванням будь-якого припущеного розрідженого відображення параметрів у точності.

У [1] у контексті наборів унітарних гейтів це формалізовано в Pattern Transfer Graph (PTG): орієнтований граф, що описує всі можливі експерименти, які складаються з елементів набору гейтів і шарів однокубітних гейтів Кліффорда (які вважаються ідеальними, або «безкоштовними», операціями). Це було узагальнено в [5] для включення наборів гейтів із проміжними вимірюваннями. В обох випадках кожен експеримент описується відстеженням одного оператора Паулі через схему за припущення, що на кожному місці вимірювання обчислюється певна спостережувана. Тут ми не розглядаємо безпосередньо побудову графа чи шляхів; проте ми наводимо факти, потрібні для їх обґрунтування в наших власних позначеннях і з урахуванням скидань.

Хоча відстеження одного оператора Паулі через схему може бути інтуїтивним у випадку набору унітарних гейтів, це не так очевидно виконується в загальнішому випадку Clifford-MCM-reset через недетермінований характер вимірювання. Наступне твердження відновлює цю картину навіть у загальнішому випадку [5]:

Твердження 1

Для будь-яких $x \in \mathbb{Z}_2^M$, $y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R}$ і $Q\in \mathcal{P}^{N \setminus R}$ виконується:

$$\langle\!\langle Q \otimes Z^y |\otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} |_M \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right) = \lambda_{x,y}^Q\langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$$

Іншими словами, якщо ми обчислюємо очікуване значення $Z^{x + y|_M}$ на класичному регістрі, виведеному MCM, то еволюція спостережуваної в «картині Гейзенберга» через гейт Clifford-MCM-reset відображає $Q \otimes Z^y \rightarrow Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x$. Лише цей факт уможливлює відновлення аналізу, подібного до PTG, поза випадком набору унітарних гейтів: за певної постобробки результатів вимірювань навіть гейти з вимірюваннями та скиданнями можна розглядати як такі, що детерміновано відображають один оператор Паулі в інший.

Перш ніж довести це, запишемо рівняння (3) у більш показовій формі. Зауваж, що для $x, y \in \mathbb{Z}_2^M$ виконується $Z^{x+y} = \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} (-1)^{m \cdot (x + y)}| m \rangle\langle m |$, і тому (у позначеннях суператорів) маємо:

$$\begin{split} \begin{aligned} \sum_{m \in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle_M = \frac{1}{2^{2|M|+|N|}}\sum_{\substack{x \in \mathbb{Z}_2^M, y \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ Q \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^Q_{x,y} | Q \otimes Z^y \rangle\!\rangle \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) | \otimes | Z^{x + y|_M} \rangle\!\rangle_M, \end{aligned} \end{split}$$

де ми застосували рівняння (3) і зібрали доданки, а підрядковий індекс $M$ використовуємо для позначення регістра класичного результату вимірювання, який ми вище розглядаємо в подібних позначеннях до квантових регістрів.

Доведення. Виконується:

$$\begin{split} \begin{aligned} &\langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left(\sum_{m\in \mathbb{Z}_2^M} \mathcal{E}_m \otimes | m \rangle\!\rangle\right)\\ &= \langle\!\langle Q \otimes Z^y | \otimes \langle\!\langle Z^{x + y|_M} | \left( \frac{1}{2^{2|M|+|N|}} \sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N\setminus R}}} \lambda^P_{a,b} | P \otimes Z^b \rangle\!\rangle\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \otimes | Z^{a + b|_M} \rangle\!\rangle \right) \\ &=\frac{1}{2^{2|M| + |N|}}\sum_{\substack{a \in \mathbb{Z}_2^M, b \in \mathbb{Z}_2^{M \cup R} \\ P \in \mathcal{P}^{N \setminus R}}} \lambda^P_{a, b}\underbrace{\langle Q \otimes Z^y, P \otimes Z^b \rangle}_{2^{|M| + |N|} \delta_{P, Q}\delta_{y,b}} \underbrace{\langle Z^{x + y|_M}, Z^{a + b|_M} \rangle}_{2^{|M|}\delta_{x+y|_M,a+b|_M}}\langle\!\langle G^\dagger(P \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^a) | \end{aligned} \end{split}$$

Нарешті, зауваж, що $\delta_{y,b}\delta_{x+y|_M,a+b|_M} = \delta_{y,b}\delta_{x,a}$, а отже, останній доданок вище згортається до єдиного доданка $\lambda^Q_{x,y} \langle\!\langle G^\dagger(Q \otimes I_{N \cap R} \otimes Z^x) |$, що дає бажаний результат.

Див. [5] щодо подальшого розвитку: визначення PTG, шляхи через PTG і доведення того, що будь-який коректно визначений шлях відповідає експерименту.

Література

[1]

Senrui Chen, Zhihan Zhang, Liang Jiang, and Steven T. Flammia. Efficient Self-Consistent Learning of Gate Set Pauli Noise. PRX Quantum, 7(1):010305, 2026. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/1pnv-t9px, doi:10.1103/1pnv-t9px.

[2]

Edward H. Chen, Senrui Chen, Laurin E. Fischer, Andrew Eddins, Luke C. G. Govia, Brad Mitchell, Andre He, Youngseok Kim, Liang Jiang, and Alireza Seif. Disambiguating pauli noise in quantum computers. PRX Quantum, pages, 2026. doi:10.1103/69wc-gzl6.

[3]

Steven T. Flammia. Averaged Circuit Eigenvalue Sampling. In 17th Conference on the Theory of Quantum Computation, Communication and Cryptography (TQC 2022), volume 232 of Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs), 4:1–4:10. Dagstuhl, Germany, 2022. Schloss Dagstuhl – Leibniz-Zentrum für Informatik. doi:10.4230/LIPIcs.TQC.2022.4.

[4]

Alexander Erhard, Joel J. Wallman, Lukas Postler, Michael Meth, Roman Stricker, Esteban A. Martinez, Philipp Schindler, Thomas Monz, Joseph Emerson, and Rainer Blatt. Characterizing large-scale quantum computers via cycle benchmarking. Nature Communications, 10(1):5347, 2019. doi:10.1038/s41467-019-13068-7.

[5]

Zhihan Zhang, Senrui Chen, Yunchao Liu, and Liang Jiang. Generalized Cycle Benchmarking Algorithm for Characterizing Midcircuit Measurements. PRX Quantum, 6(1):010310, 2025. URL: https://link.aps.org/doi/10.1103/PRXQuantum.6.010310, doi:10.1103/PRXQuantum.6.010310.

[6]

Stefanie J. Beale and Joel J. Wallman. Randomized compiling for subsystem measurements. 2023. URL: http://arxiv.org/abs/2304.06599, doi:10.48550/arXiv.2304.06599.

[7]

Ewout van den Berg and Pawel Wocjan. Techniques for learning sparse Pauli-Lindblad noise models. Quantum, 8:1556, 2024. URL: https://quantum-journal.org/papers/q-2024-12-10-1556/, doi:10.22331/q-2024-12-10-1556.