Швидкий старт

---

title: Швидкий старт description: Посібник зі швидкого старту для пакета pauli-prop з Qiskit addons

У цьому посібнику ми використовуємо пакет pauli-prop, щоб класично змоделювати часову динаміку 10-кубітної моделі Ізінга з імпульсним збудженням на одновимірному ланцюжку спінів.

Підготуй вхідні дані для Pauli propagation

Розглядається такий гамільтоніан:

$H = -J\sum\limits_{\langle i,j \rangle} Z_iZ_j + h\sum\limits_iX_i$

де $J>0$ описує зв'язок між найближчими сусідніми спінами, $i<j$, а $h$ — глобальне поперечне поле. Тротерівський розклад першого порядку оператора часової еволюції буде реалізовано як квантову схему, $U$, на $20$ тротерівських кроках. Константу зв'язку, $J$, буде зафіксовано як $J=-\frac{\pi}{2}$, а $h$ — як $\frac{\pi}{6}$. Взаємодії $ZZ$ буде реалізовано за допомогою гейтів Кліффорда ($CX$, $Sdg$, $\sqrt{Y}$).

Ми реалізуємо тротеризовану часову еволюцію як квантову схему та використовуємо $\frac{\pi}{6}$ для не-кліффордових обертань навколо осі x. Чим далі ці кути від кутів Кліффорда (наприклад, $\theta=n\frac{\pi}{2}, n \in \mathbb{Z}$), тим складніше буде змоделювати систему методами Pauli propagation.

Як спостережувану ми обираємо середню намагніченість на одному вузлі, $\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \langle z_i \rangle$, де $N$ — кількість спінів.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "numpy": "numpy", "pauli_prop": "pauli-prop", "qiskit": "qiskit", "qiskit_aer": "qiskit-aer"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler import CouplingMap

num_qubits = 10
coupling_map = CouplingMap.from_line(num_qubits, bidirectional=False)

# Num Trotter steps
num_steps = 20
theta_rx = np.pi / 6

# Average single-site magnetization
observable = (
    SparsePauliOp(
        [
            "I" * iq + "Z" + "I" * (num_qubits - iq - 1)
            for iq in range(num_qubits)
        ]
    )
    / num_qubits
)

# Create the Trotter circuit
num_qubits = 10
num_steps = 20
theta_rx = np.pi / 6
circuit = QuantumCircuit(num_qubits)
edges = CouplingMap.from_line(num_qubits, bidirectional=False).get_edges()
for _ in range(num_steps):
    circuit.rx(theta_rx, [i for i in range(num_qubits)])
    for edge in edges:
        circuit.sdg(edge)
        circuit.ry(np.pi / 2, edge[1])
        circuit.cx(edge[0], edge[1])
        circuit.ry(-np.pi / 2, edge[1])
circuit.draw("mpl", fold=-1)

Змоделюй часову еволюцію системи за допомогою Pauli propagation

Коли в нас є схема, $U$, і спостережувана, $O$, ми можемо легко змоделювати систему за кілька кроків:

• Розділи $U$ на кліффордову, $C$, і не-кліффордову, $P$, частини так, щоб $U=PC$, за допомогою evolve_through_cliffords

• Поширюй $O$ крізь $P$, отримуючи новий оператор, $O^\prime$, за допомогою pauli_prop.propagate_through_circuit

• Еволюціонуй $O^\prime$ крізь кліффордову частину схеми за допомогою підтримки еволюції Кліффорда, вбудованої в Qiskit

• Наближено оціни математичне сподівання як $\langle0|O^\prime|0\rangle \approx \langle0|U^\dagger OU|0\rangle$, підсумувавши коефіцієнти в $O^\prime$, пов'язані з повністю діагональними паулівськими доданками (паулівські доданки, що містять на всіх кубітах лише I або Z). Пам'ятай, що це наближення, адже ми відкидали доданки з $O^\prime$, поширюючи його крізь не-кліффордову частину схеми.

import time

from pauli_prop import evolve_through_cliffords, propagate_through_circuit

cliff, non_cliff = evolve_through_cliffords(circuit)

max_terms_list = [10**i for i in range(8)]
approx_evs = []
durations = []
for max_terms in max_terms_list:
    st = time.perf_counter()
    evolved_obs = propagate_through_circuit(
        observable, non_cliff, max_terms=max_terms, atol=1e-12, frame="h"
    )[0]
    evolved_obs.paulis = evolved_obs.paulis.evolve(cliff, frame="h")
    durations.append(time.perf_counter() - st)
    approx_evs.append(
        float(evolved_obs.coeffs[~evolved_obs.paulis.x.any(axis=1)].sum())
    )

Коли ми запускаємо більші обчислення, наближення математичного сподівання стають точнішими. У цьому прикладі ми насичуємо повний паулівський простір приблизно на $4^{10}\approx10^6$, що відображається в вирівнюванні кривої між двома останніми точками.

Хоча графік нижче показує монотонну збіжність, симуляції Pauli propagation загалом збігаються немонотонно. Бачити «нерівну» поведінку на таких графіках — звичайна річ.

import matplotlib.pyplot as plt
from qiskit_aer import AerSimulator

sim_circ = circuit.copy()
sim_circ.save_statevector()
backend = AerSimulator(method="statevector")
psi = backend.run(sim_circ).result().data()["statevector"]
exact_ev = psi.expectation_value(observable)

ax1 = plt.gca()
ax1.plot(max_terms_list, approx_evs, marker="o", label="Approximate")
ax1.axhline(exact_ev, linestyle="--", color="green", label="Exact")
ax1.set_xscale("log")
ax1.set_xlabel("# terms kept")
ax1.set_ylabel(r"$\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} \langle z_i \rangle$")

ax2 = ax1.twinx()
ax2.plot(
    max_terms_list, durations, marker=".", label="Runtime", color="orange"
)
ax2.set_ylabel("Runtime (s)", color="orange")
ax2.set_yscale("log")

handles1, labels1 = ax1.get_legend_handles_labels()
handles2, labels2 = ax2.get_legend_handles_labels()
ax1.legend(handles1 + handles2, labels1 + labels2, loc="lower right")

plt.title(f"Simulating {num_steps}-step 1D Ising Model")

Text(0.5, 1.0, 'Simulating 20-step 1D Ising Model')