Змоделюй 127-кубітну модель Ізінга з імпульсним збудженням

У цьому посібнику ми використовуємо пакет pauli-prop, щоб класично змоделювати часову динаміку 127-кубітної моделі Ізінга з імпульсним збудженням на решітці heavy-hex і наближено оцінити намагніченість на одному вузлі, $\langle Z_{62} \rangle$. Розглядається такий гамільтоніан:

$H = -J\sum\limits_{\langle i,j \rangle} Z_iZ_j + h\sum\limits_iX_i$

де $J>0$ описує зв'язок між найближчими сусідніми спінами, $i<j$, а $h$ — глобальне поперечне поле. Тротерівський розклад першого порядку оператора часової еволюції буде реалізовано як квантову схему, $U$, на $20$ тротерівських кроках. Константу зв'язку, $J$, буде зафіксовано як $J=-\frac{\pi}{2}$, так що $U$ є кліффордовою щоразу, коли $h\mod\frac{\pi}{2}=0$.

Робочий процес:

• Створи квантові схеми, що реалізують тротеризовану модель Ізінга

  • Змінюй $h$ між точками Кліффорда, $0.0$ і $\frac{\pi}{2}$

• Обери вузол посередині решітки (кубіт $62$) і оціни намагніченість після $20$ тротерівських кроків для кожної схеми

• Спостерігай, як намагніченість спадає від $1.0$ до $0.0$, коли $h$ переходить від однієї точки Кліффорда до іншої

Створення схем

Спершу ми використовуємо FakeSherbrooke з qiskit-ibm-runtime, щоб отримати індекси ребер для карти зв'язків 127-кубітного QPU Eagle. Отримавши індекси ребер, ми створюємо тротерівські схеми для різних значень $h$, які хочемо змоделювати. Схеми реалізуватимуть тротеризацію гамільтоніана першого порядку з 20 тротерівськими кроками та 5420 гейтами.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"matplotlib": "matplotlib", "numpy": "numpy", "pauli_prop": "pauli-prop", "qiskit": "qiskit", "qiskit_ibm_runtime": "qiskit-ibm-runtime"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

import numpy as np
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit_ibm_runtime.fake_provider import FakeSherbrooke

# Get the edges in the device coupling map
backend = FakeSherbrooke()
edges = backend.coupling_map.get_edges()

# Num Trotter steps
num_steps = 20

# Create Trotter circuits with varying global fields
hs = [i * np.pi / 32 for i in range(17)]
circuits = []
for h in hs:
    circuit = QuantumCircuit(backend.num_qubits)
    for _ in range(num_steps):
        circuit.rx(h, [i for i in range(backend.num_qubits)])
        for edge in edges:
            circuit.rzz(-np.pi / 2, edge[0], edge[1])
    circuits.append(circuit)

Змоделюй часову динаміку за допомогою Pauli propagation

Далі ми задаємо спостережувану, $O$, яку хочемо виміряти. У цьому випадку ми оцінюємо $\langle Z_{62} \rangle$.

Щоб дослідити намагніченість між точками Кліффорда, ми наближено поширюємо $O$ на початок схеми, $U$, отримуючи нову спостережувану, $O^\prime \approx U^{\dagger}OU$.

Під час поширення кількість доданків в еволюціонованій спостережуваній зростає експоненційно залежно від кількості гейтів, тому зазвичай потрібно обмежувати, наскільки вона може зрости. Тут ми обмежуємо кількість доданків у $O^\prime$ значенням $10^5$ і відкидаємо доданки з коефіцієнтами, меншими за $10^{-5}$. Відкидання доданків вносить певну похибку. Отримавши $O^\prime$, ми можемо легко оцінити математичне сподівання, $\langle0|U^{\dagger}OU|0\rangle = \langle0|O^\prime|0\rangle$, підсумувавши коефіцієнти діагональних доданків у $O^\prime$ (доданки, що складаються лише з I або Z на всіх кубітах).

Ми задаємо frame='h', щоб указати, що хочемо еволюціонувати спостережувану в представленні Гейзенберга ($U^{\dagger}OU$). Використовуй frame=s для еволюції Шредінгера ($UOU^{\dagger}$).

import time

from pauli_prop import propagate_through_circuit
from qiskit.quantum_info import Pauli, SparsePauliOp

# Z_62 observable
id_pauli = Pauli("I" * backend.num_qubits)
observable = SparsePauliOp(id_pauli.dot(Pauli("Z"), [62]))

# Estimate the single-site magnetization for varying magnetic fields
times = []
approx_evs = []
for circuit in circuits:
    st = time.perf_counter()
    propagated_obs = propagate_through_circuit(
        observable, circuit, 100_000, 1e-5, frame="h"
    )[0]
    times.append(time.perf_counter() - st)
    approx_evs.append(
        float(
            propagated_obs.coeffs[~propagated_obs.paulis.x.any(axis=1)].sum()
        )
    )
print(f"Finished {len(circuits)} simulations in {sum(times):.0f}s")

Finished 17 simulations in 494s

Візуалізація

Нарешті, ми будуємо графік намагніченості як функції від $h$. Коли $h=0$, схема не впливає на початковий стан в обчислювальному базисі, і ми знаємо, що $\langle0|O|0\rangle = 1.0$. Коли $h$ віддаляється від $0$, намагніченість монотонно спадає, доки $h$ не досягне наступного кута Кліффорда, $\frac{\pi}{2}$, і намагніченість не збігається до $0$.

import matplotlib.pyplot as plt

plt.xlabel(r"$R_x$ angle $\theta_h$")
plt.ylabel(r"$\langle Z_{62} \rangle$")
plt.plot(hs, approx_evs, marker="o")

[<matplotlib.lines.Line2D at 0x123f68b00>]