Вказання спостережуваних у базисі Паулі

Версії пакетів

Код на цій сторінці було розроблено з використанням таких вимог. Рекомендуємо використовувати ці або новіші версії.

qiskit[all]~=2.3.0

У квантовій механіці спостережувані відповідають фізичним властивостям, які можна виміряти. Наприклад, розглядаючи систему спінів, тебе може цікавити вимірювання енергії системи або отримання інформації про вирівнювання спінів, як-от намагніченість або кореляції між спінами.

Щоб виміряти $n$-кубітну спостережувану $O$ на квантовому комп'ютері, треба подати її як суму тензорних добутків операторів Паулі, тобто

$$O = \sum_{k=1}^K \alpha_k P_k,~~ P_k \in \{I, X, Y, Z\}^{\otimes n},~~ \alpha_k \in \mathbb{R},$$

де

$$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} ~~ X = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} ~~ Y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} ~~ Z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

і використовується факт, що спостережувана є ермітовою, тобто $O^\dagger = O$. Якщо $O$ не є ермітовою, її все одно можна розкласти як суму Паулі, але коефіцієнт $\alpha_k$ стає комплексним.

У багатьох випадках спостережувана природно задається в цьому поданні після відображення системи, що цікавить, на кубіти. Наприклад, система спін-1/2 може бути відображена на гамільтоніан Ізінга

$$H = \sum_{\langle i, j\rangle} Z_i Z_j - \sum_{i=1}^n X_i,$$

де індекси $\langle i, j\rangle$ пробігають по взаємодіючих спінах, а спіни підпорядковані поперечному полю в $X$. Нижній індекс вказує, на який кубіт діє оператор Паулі, тобто $X_i$ застосовує оператор $X$ до кубіта $i$, залишаючи решту без змін.

У Qiskit SDK цей гамільтоніан можна побудувати за допомогою такого коду.

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q numpy qiskit

from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp

# define the number of qubits
n = 12

# define the single Pauli terms as ("Paulis", [indices], coefficient)
interactions = [
    ("ZZ", [i, i + 1], 1) for i in range(n - 1)
]  # we assume spins on a 1D line
field = [("X", [i], -1) for i in range(n)]

# build the operator
hamiltonian = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    interactions + field, num_qubits=n
)
print(hamiltonian)

SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIZZ', 'IIIIIIIIIZZI', 'IIIIIIIIZZII', 'IIIIIIIZZIII', 'IIIIIIZZIIII', 'IIIIIZZIIIII', 'IIIIZZIIIIII', 'IIIZZIIIIIII', 'IIZZIIIIIIII', 'IZZIIIIIIIII', 'ZZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIX', 'IIIIIIIIIIXI', 'IIIIIIIIIXII', 'IIIIIIIIXIII', 'IIIIIIIXIIII', 'IIIIIIXIIIII', 'IIIIIXIIIIII', 'IIIIXIIIIIII', 'IIIXIIIIIIII', 'IIXIIIIIIIII', 'IXIIIIIIIIII', 'XIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[ 1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j,
  1.+0.j,  1.+0.j,  1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j,
 -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j, -1.+0.j])

Якщо ми хочемо виміряти енергію, то спостережуваною є сам гамільтоніан. Або ж нас може цікавити вимірювання властивостей системи, як-от середня намагніченість, шляхом підрахунку кількості спінів, вирівняних у напрямку $Z$, за допомогою спостережуваної

$$O = \frac{1}{n} \sum_{i=1} Z_i$$

Для спостережуваних, заданих не в термінах операторів Паулі, а у матричній формі, спочатку треба переформулювати їх у базисі Паулі для обчислення на квантовому комп'ютері. Таке подання завжди можна знайти, оскільки матриці Паулі утворюють базис для ермітових матриць $2^n \times 2^n$. Розкладемо спостережувану $O$ як

$$O = \sum_{P \in \{I, X, Y, Z\}^{\otimes n}} \mathrm{Tr}(O P) P,$$

де сума береться по всіх можливих $n$-кубітних термах Паулі, а $\mathrm{Tr}(\cdot)$ — це слід матриці, що виступає скалярним добутком. Цей розклад від матриці до термів Паулі можна реалізувати за допомогою методу SparsePauliOp.from_operator, ось так:

import numpy as np
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp

matrix = np.array(
    [[-1, 0, 0.5, -1], [0, 1, 1, 0.5], [0.5, 1, -1, 0], [-1, 0.5, 0, 1]]
)

observable = SparsePauliOp.from_operator(matrix)
print(observable)

SparsePauliOp(['IZ', 'XI', 'YY'],
              coeffs=[-1. +0.j,  0.5+0.j,  1. -0.j])

Це означає, що матрицю можна записати через терми Паулі як $O = -Z_1 + 0.5 X_2 + Y_2 Y_1$.

примітка

Пам'ятай, що порядок тензорного добутку відображається на кубіти як $q_n \otimes q_{n-1} \otimes \cdots \otimes q_1$.

примітка

Якщо спостережувана є ермітовою (тобто $O^\dagger = O$), коефіцієнти Паулі є дійсними числами. Проте ми також можемо розкласти будь-яку іншу комплексну матрицю через Паулі, якщо допускаємо комплексно-значні коефіцієнти.

Вимірювання в базисах Паулі

Вимірювання проектує стан кубіта на обчислювальний базис $\{|0\rangle, |1\rangle\}$. Це означає, що можна вимірювати лише спостережувані, діагональні в цьому базисі, як-от Паулі, що складаються лише з термів $I$ та $Z$. Тому вимірювання довільних термів Паулі потребує зміни базису для їх діагоналізації. Для цього виконай такі перетворення:

$$\begin{aligned} X &\rightarrow Z = H X H \\ Y &\rightarrow Z = H S^\dagger Y S H, \end{aligned}$$

де $H$ — вентиль Адамара, а $S = \sqrt{Z}$ іноді називають фазовим вентилем. Якщо ти використовуєш Estimator для обчислення очікуваних значень, базисні перетворення виконуються автоматично.

Нижче наведено приклад, що демонструє, як підготувати квантову схему та вручну виміряти кубіт 0 у базисі X, кубіт 1 у базисі Y та кубіт 2 у базисі Z. Застосовуємо перетворення, показані в попередньому рівнянні, і отримуємо таку схему:

from qiskit.circuit import QuantumCircuit

# create a circuit, where we would like to measure
# q0 in the X basis, q1 in the Y basis and q2 in the Z basis
circuit = QuantumCircuit(3)
circuit.ry(0.8, 0)
circuit.cx(0, 1)
circuit.cx(1, 2)
circuit.barrier()

# diagonalize X with the Hadamard gate
circuit.h(0)

# diagonalize Y with Hadamard as S^\dagger
circuit.sdg(1)
circuit.h(1)

# the Z basis is the default, no action required here

# measure all qubits
circuit.measure_all()
circuit.draw("mpl")

Наступні кроки

Рекомендації

• Прочитай довідник SparsePauliOp API.