Реалізація в Qiskit

У попередньому уроці ми вперше ознайомились з класами Statevector та Operator у Qiskit і використали їх для симуляції операцій та вимірювань на одиночних кубітах. У цьому розділі ми використаємо ці класи, щоб дослідити поведінку кількох кубітів.

# Added by doQumentation — installs the packages this notebook needs if they are missing
import importlib.util

_needed = {"numpy": "numpy", "qiskit": "qiskit"}
_missing = [pip for module, pip in _needed.items()
            if importlib.util.find_spec(module) is None]
# One at a time, so a package that fails to install does not block the others
for _pip in _missing:
    %pip install -q {_pip}
if not _missing:
    print("\u2713 All required packages are installed")

from qiskit import __version__

print(__version__)

2.1.1

Почнемо з імпорту класів Statevector та Operator, а також функції квадратного кореня з NumPy. Надалі, як правило, ми будемо робити всі необхідні імпорти на початку кожного уроку.

from qiskit.quantum_info import Statevector, Operator
from numpy import sqrt

Тензорні добутки

Клас Statevector має метод tensor, що повертає тензорний добуток цього Statevector з іншим, переданим як аргумент. Аргумент інтерпретується як правий тензорний множник.

Наприклад, нижче ми створюємо два вектори стану, що представляють $\vert 0\rangle$ та $\vert 1\rangle,$ і використовуємо метод tensor для створення нового вектора $\vert \psi\rangle = \vert 0\rangle \otimes \vert 1\rangle.$ Зверни увагу, що ми використовуємо метод from_label для визначення станів $\vert 0\rangle$ та $\vert 1\rangle,$ а не визначаємо їх самостійно.

zero = Statevector.from_label("0")
one = Statevector.from_label("1")
psi = zero.tensor(one)
display(psi.draw("latex"))

$|01\rangle$

Інші допустимі мітки включають "+" та "-" для станів плюс і мінус, а також "r" та "l" (скорочення від "right" та "left" — "правий" та "лівий") для станів

$$\vert {+i} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \qquad\text{та}\qquad \vert {-i} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle.$$

Тут "+", "-" або "right" та "left" походять із контексту квантово-механічного спіну, в якому компонента спіну може бути напрямлена вліво або вправо в експерименті; це не стосується крайнього правого або крайнього лівого кубіта в системах із кількох кубітів. Ось приклад тензорного добутку $\vert {+} \rangle$ та $\vert {-i} \rangle$.

plus = Statevector.from_label("+")
minus_i = Statevector.from_label("l")
phi = plus.tensor(minus_i)
display(phi.draw("latex"))

$\frac{1}{2} |00\rangle- \frac{i}{2} |01\rangle+\frac{1}{2} |10\rangle- \frac{i}{2} |11\rangle$

Альтернативою є використання операції ^ для тензорних добутків, що природно дає ті самі результати.

display((plus ^ minus_i).draw("latex"))

$\frac{1}{2} |00\rangle- \frac{i}{2} |01\rangle+\frac{1}{2} |10\rangle- \frac{i}{2} |11\rangle$

Клас Operator також має метод tensor (а також метод from_label), як ми бачимо в наступних прикладах.

H = Operator.from_label("H")
Id = Operator.from_label("I")
X = Operator.from_label("X")
display(H.tensor(Id).draw("latex"))
display(H.tensor(Id).tensor(X).draw("latex"))

$$\begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Знову ж таки, як і у випадку з векторами, операція ^ є еквівалентною.

display((H ^ Id ^ X).draw("latex"))

$$\begin{bmatrix} 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 & 0 & 0 & - \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ \end{bmatrix}$$

Як і слід очікувати, еволюцію складених станів можна описати складеними операціями — так само, як ми бачили для одиночних систем у попередньому уроці. Наприклад, наступний код обчислює стан $(H\otimes I)\vert\phi\rangle$ для $\vert\phi\rangle = \vert + \rangle \otimes \vert {-i}\rangle$ (вже визначеного вище).

display(phi.evolve(H ^ Id).draw("latex"))

$\frac{\sqrt{2}}{2} |00\rangle- \frac{\sqrt{2} i}{2} |01\rangle$

Ось код, що визначає операцію $CX$ та обчислює $CX \vert\psi\rangle$ для $\vert\psi\rangle = \vert + \rangle \otimes \vert 0 \rangle$. Для ясності: це операція $CX$, в якій лівий кубіт є керуючим, а правий — цільовим. Результатом є стан Белла $\vert\phi^{+}\rangle$.

CX = Operator([[1, 0, 0, 0], [0, 1, 0, 0], [0, 0, 0, 1], [0, 0, 1, 0]])
psi = plus.tensor(zero)
display(psi.evolve(CX).draw("latex"))

$\frac{\sqrt{2}}{2} |00\rangle+\frac{\sqrt{2}}{2} |11\rangle$

Часткові вимірювання

У попередньому уроці ми використовували метод measure для симуляції вимірювання вектора квантового стану. Цей метод повертає два елементи: симульований результат вимірювання та новий Statevector з урахуванням цього вимірювання.

За замовчуванням measure вимірює всі кубіти у векторі стану. Натомість ми можемо передати список цілих чисел як аргумент, що призведе до вимірювання лише кубітів з відповідними індексами. Щоб продемонструвати це, наведений нижче код створює стан

$$\vert w\rangle = \frac{\vert 001\rangle + \vert 010\rangle + \vert 100\rangle}{\sqrt{3}}$$

і вимірює кубіт з номером 0, який є крайнім правим кубітом. (Qiskit нумерує кубіти починаючи з 0, справа наліво. До цієї конвенції нумерації ми повернемося в наступному уроці.)

w = Statevector([0, 1, 1, 0, 1, 0, 0, 0] / sqrt(3))
display(w.draw("latex"))

result, state = w.measure([0])
print(f"Measured: {result}\nState after measurement:")
display(state.draw("latex"))

result, state = w.measure([0, 1])
print(f"Measured: {result}\nState after measurement:")
display(state.draw("latex"))

$\frac{\sqrt{3}}{3} |001\rangle+\frac{\sqrt{3}}{3} |010\rangle+\frac{\sqrt{3}}{3} |100\rangle$

Measured: 0
State after measurement:

$\frac{\sqrt{2}}{2} |010\rangle+\frac{\sqrt{2}}{2} |100\rangle$

Measured: 00
State after measurement:

$|100\rangle$