Внутрішні добутки та проєкції

Щоб краще підготуватися до вивчення можливостей і обмежень квантових схем, ми розглянемо кілька додаткових математичних понять — а саме внутрішній добуток між векторами (і його зв'язок із Евклідовою нормою), поняття ортогональності та ортонормальності для наборів векторів, а також матриці проєкцій, що дадуть нам змогу ввести зручне узагальнення стандартних базисних вимірювань.

Внутрішні добутки

Пригадаємо, що коли ми використовуємо нотацію Дірака для позначення довільного стовпцевого вектора як кет, наприклад

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix},$$

то відповідний бра-вектор є спряженою транспонованою цього вектора:

$$\langle \psi \vert = \bigl(\vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix}. \tag{1}$$

Або ж, якщо ми маємо на увазі деяку множину класичних станів $\Sigma$ і записуємо стовпцевий вектор у вигляді кет,

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle,$$

то відповідний рядковий (або бра-) вектор є спряженою транспонованою

$$\langle \psi \vert = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert. \tag{2}$$

Добуток бра-вектора і кет-вектора, розглянутих як матриці, що мають відповідно один рядок або один стовпець, дає скаляр. Зокрема, якщо є два стовпцевих вектори

$$\vert \psi \rangle = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \alpha_2\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix} \quad\text{та}\quad \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix},$$

так що рядковий вектор $\langle \psi \vert$ має вигляд, як у рівнянні $(1),$ то

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_1} & \overline{\alpha_2} & \cdots & \overline{\alpha_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1\\ \beta_2\\ \vdots\\ \beta_n \end{pmatrix} = \overline{\alpha_1} \beta_1 + \cdots + \overline{\alpha_n}\beta_n.$$

Або ж, якщо два стовпцевих вектори записані у вигляді

$$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{та}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

так що $\langle \psi \vert$ є рядковим вектором $(2),$ то

$$\begin{aligned} \langle \psi \vert \phi \rangle & = \langle \psi \vert \vert \phi \rangle\\ & = \Biggl(\sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \langle a \vert\Biggr) \Biggl(\sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b\rangle\Biggr)\\ & = \sum_{a\in\Sigma}\sum_{b\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_b \langle a \vert b \rangle\\ & = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a, \end{aligned}$$

де остання рівність випливає зі спостереження, що $\langle a \vert a \rangle = 1$ і $\langle a \vert b \rangle = 0$ для класичних станів $a$ і $b$, що задовольняють $a\neq b.$

Значення $\langle \psi \vert \phi \rangle$ називається внутрішнім добутком між векторами $\vert \psi\rangle$ та $\vert \phi \rangle.$ Внутрішні добутки відіграють критично важливу роль у квантовій інформації та обчисленнях; без них неможливо глибоко зрозуміти квантову інформацію на математичному рівні.

Зберемо тепер деякі базові факти про внутрішні добутки векторів.

1. Зв'язок із Евклідовою нормою. Внутрішній добуток будь-якого вектора

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle$$

   із самим собою дорівнює

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \alpha_a = \sum_{a\in\Sigma} \vert\alpha_a\vert^2 = \bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

   Отже, Евклідову норму вектора можна альтернативно виразити як

   $$\bigl\| \vert \psi \rangle \bigr\| = \sqrt{ \langle \psi \vert \psi \rangle }.$$

   Зауваж, що Евклідова норма вектора завжди є невід'ємним дійсним числом. Крім того, Евклідова норма вектора може дорівнювати нулю лише тоді, коли кожен із його елементів дорівнює нулю, тобто вектор є нульовим вектором.

   Ці спостереження можна підсумувати так: для кожного вектора $\vert \psi \rangle$ виконується

   $$\langle \psi \vert \psi \rangle \geq 0,$$

   причому $\langle \psi \vert \psi \rangle = 0$ тоді і тільки тоді, коли $\vert \psi \rangle = 0.$ Цю властивість внутрішнього добутку іноді називають позитивною визначеністю.

2. Кон'югатна симетрія. Для будь-яких двох векторів

   $$\vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \alpha_a \vert a \rangle \quad\text{та}\quad \vert \phi \rangle = \sum_{b\in\Sigma} \beta_b \vert b \rangle,$$

   маємо

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\alpha_a} \beta_a \quad\text{та}\quad \langle \phi \vert \psi \rangle = \sum_{a\in\Sigma} \overline{\beta_a} \alpha_a,$$

   а отже

   $$\overline{\langle \psi \vert \phi \rangle} = \langle \phi \vert \psi \rangle.$$

3. Лінійність у другому аргументі (і кон'югатна лінійність у першому). Припустімо, що $\vert \psi \rangle,$ $\vert \phi_1 \rangle$ та $\vert \phi_2 \rangle$ — вектори, а $\alpha_1$ і $\alpha_2$ — комплексні числа. Якщо визначити новий вектор

   $$\vert \phi\rangle = \alpha_1 \vert \phi_1\rangle + \alpha_2 \vert \phi_2\rangle,$$

   то

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \langle \psi \vert \bigl( \alpha_1\vert \phi_1 \rangle + \alpha_2\vert \phi_2 \rangle\bigr) = \alpha_1 \langle \psi \vert \phi_1 \rangle + \alpha_2 \langle \psi \vert \phi_2 \rangle.$$

   Тобто внутрішній добуток є лінійним у другому аргументі. Це можна перевірити або безпосередньо за наведеними формулами, або просто зауваживши, що множення матриць є лінійним за кожним аргументом (і зокрема за другим).

   Поєднання цього факту з кон'югатною симетрією показує, що внутрішній добуток є кон'югатно лінійним у першому аргументі. Тобто якщо $\vert \psi_1 \rangle,$ $\vert \psi_2 \rangle$ та $\vert \phi \rangle$ — вектори, $\alpha_1$ і $\alpha_2$ — комплексні числа, і визначено

   $$\vert \psi \rangle = \alpha_1 \vert \psi_1\rangle + \alpha_2 \vert \psi_2 \rangle,$$

   то

   $$\langle \psi \vert \phi \rangle = \bigl( \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \bigr) \vert\phi\rangle = \overline{\alpha_1} \langle \psi_1 \vert \phi \rangle + \overline{\alpha_2} \langle \psi_2 \vert \phi \rangle.$$

4. Нерівність Коші–Шварца. Для кожного вибору векторів $\vert \phi \rangle$ та $\vert \psi \rangle$ з однаковою кількістю елементів виконується

   $$\bigl\vert \langle \psi \vert \phi \rangle\bigr| \leq \bigl\| \vert\psi \rangle \bigr\| \bigl\| \vert \phi \rangle \bigr\|.$$

   Це надзвичайно корисна нерівність, яка широко використовується у квантовій інформації (і в багатьох інших розділах математики та фізики).

Ортогональні та ортонормальні набори

Два вектори $\vert \phi \rangle$ та $\vert \psi \rangle$ називаються ортогональними, якщо їхній внутрішній добуток дорівнює нулю:

$$\langle \psi \vert \phi \rangle = 0.$$

Геометрично ортогональні вектори можна уявити як вектори, що утворюють прямий кут між собою.

Набір векторів $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ називається ортогональним набором, якщо кожен вектор у ньому є ортогональним до будь-якого іншого вектора цього набору. Тобто набір є ортогональним, якщо

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = 0$$

для всіх $j,k\in\{1,\ldots,m\}$ таких, що $j\neq k.$

Набір векторів $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ називається ортонормальним, якщо він є ортогональним набором і, крім того, кожен вектор у ньому є одиничним вектором. Еквівалентно, цей набір є ортонормальним, якщо виконується

$$\langle \psi_j \vert \psi_k\rangle = \begin{cases} 1 & j = k\\[1mm] 0 & j\neq k \end{cases} \tag{3}$$

для всіх $j,k\in\{1,\ldots,m\}.$

Нарешті, набір $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ є ортонормальним базисом, якщо він є ортонормальним набором і до того ж утворює базис. Це рівносильно тому, що $\{ \vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ є ортонормальним набором, а $m$ дорівнює розмірності простору, з якого беруться $\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle.$

Наприклад, для будь-якої множини класичних станів $\Sigma$ набір усіх стандартних базисних векторів

$$\big\{ \vert a \rangle \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

є ортонормальним базисом. Набір $\{\vert+\rangle,\vert-\rangle\}$ є ортонормальним базисом для $2$-вимірного простору, що відповідає одному кубіту, а базис Белла $\{\vert\phi^+\rangle, \vert\phi^-\rangle, \vert\psi^+\rangle, \vert\psi^-\rangle\}$ є ортонормальним базисом для $4$-вимірного простору двох кубітів.

Розширення ортонормальних наборів до ортонормальних базисів

Припустімо, що $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle$ — вектори з $n$-вимірного простору, і при цьому $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ є ортонормальним набором. Ортонормальні набори завжди є лінійно незалежними, тому ці вектори обов'язково розкладають підпростір розмірності $m.$ Звідси випливає, що $m\leq n$, оскільки розмірність підпростору, що породжується цими векторами, не може перевищувати розмірність усього простору, з якого вони беруться.

Якщо $m<n,$ то завжди можна вибрати додаткові $n-m$ векторів $\vert \psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$ так, щоб $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ утворювало ортонормальний базис. Для побудови таких векторів використовується процедура, відома як процес ортогоналізації Грама–Шмідта.

Ортонормальні набори та унітарні матриці

Ортонормальні набори векторів тісно пов'язані з унітарними матрицями. Один зі способів виразити цей зв'язок — сказати, що такі три твердження є логічно еквівалентними (тобто або всі вони істинні, або всі хибні) для будь-якої квадратної матриці $U$:

1. Матриця $U$ є унітарною (тобто $U^{\dagger} U = \mathbb{I} = U U^{\dagger}$).
2. Рядки матриці $U$ утворюють ортонормальний набір.
3. Стовпці матриці $U$ утворюють ортонормальний набір.

Ця еквівалентність стає цілком очевидною, якщо поміркувати над тим, як працює множення матриць і спряжена транспонована. Припустімо, наприклад, що маємо матрицю $3\times 3$:

$$U = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}$$

Спряжена транспонована матриці $U$ має вигляд:

$$U^{\dagger} = \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix}$$

Перемноживши ці дві матриці, поставивши спряжену транспоновану ліворуч, отримаємо:

$$\begin{aligned} &\begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}} & \overline{\alpha_{2,1}} & \overline{\alpha_{3,1}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,2}} & \overline{\alpha_{2,2}} & \overline{\alpha_{3,2}} \\[1mm] \overline{\alpha_{1,3}} & \overline{\alpha_{2,3}} & \overline{\alpha_{3,3}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \alpha_{1,1} & \alpha_{1,2} & \alpha_{1,3} \\[1mm] \alpha_{2,1} & \alpha_{2,2} & \alpha_{2,3} \\[1mm] \alpha_{3,1} & \alpha_{3,2} & \alpha_{3,3} \end{pmatrix}\\[4mm] \quad &= \begin{pmatrix} \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,1}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,1}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,1}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,2}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,2}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,2}}\alpha_{3,3} \\[2mm] \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,1} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,1} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,1} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,2} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,2} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,2} & \overline{\alpha_{1,3}}\alpha_{1,3} + \overline{\alpha_{2,3}}\alpha_{2,3} + \overline{\alpha_{3,3}}\alpha_{3,3} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Якщо скласти три вектори зі стовпців матриці $U,$

$$\vert \psi_1\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,1}\\ \alpha_{2,1}\\ \alpha_{3,1} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_2\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,2}\\ \alpha_{2,2}\\ \alpha_{3,2} \end{pmatrix}, \quad \vert \psi_3\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_{1,3}\\ \alpha_{2,3}\\ \alpha_{3,3} \end{pmatrix},$$

то добуток вище можна записати інакше:

$$U^{\dagger} U = \begin{pmatrix} \langle \psi_1\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_1\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_2\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_2\vert \psi_3 \rangle \\ \langle \psi_3\vert \psi_1 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_2 \rangle & \langle \psi_3\vert \psi_3 \rangle \end{pmatrix}$$

Посилаючись на рівняння $(3),$ бачимо тепер, що умова рівності цієї матриці одиничній еквівалентна ортонормальності набору $\{\vert\psi_1\rangle,\vert\psi_2\rangle,\vert\psi_3\rangle\}.$

Цей аргумент узагальнюється на унітарні матриці будь-якого розміру. Той факт, що рядки матриці утворюють ортонормальний базис тоді і тільки тоді, коли матриця є унітарною, випливає з того, що матриця є унітарною тоді і тільки тоді, коли її транспонована теж є унітарною.

З огляду на описану еквівалентність і той факт, що будь-який ортонормальний набір можна розширити до ортонормального базису, можна зробити такий корисний висновок: для будь-якого ортонормального набору векторів $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle\}$ з $n$-вимірного простору існує унітарна матриця $U$, перші $m$ стовпців якої є векторами $\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_m\rangle.$ Схематично ми завжди можемо знайти унітарну матрицю такого вигляду:

$$U = \left( \begin{array}{ccccccc} \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt}\\ \vert\psi_1\rangle & \vert\psi_2\rangle & \cdots & \vert\psi_m\rangle & \vert\psi_{m+1}\rangle & \cdots & \vert\psi_n\rangle\\[2mm] \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} & \rule{0.4pt}{10pt} & & \rule{0.4pt}{10pt} \end{array} \right).$$

Тут останні $n-m$ стовпців заповнюються будь-яким вибором векторів $\vert\psi_{m+1}\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle$, що роблять $\{\vert\psi_1\rangle,\ldots,\vert\psi_n\rangle\}$ ортонормальним базисом.

Проєкції та проєктивні вимірювання

Матриці проєкцій

Квадратна матриця $\Pi$ називається проєкцією, якщо вона задовольняє дві умови:

1. $\Pi = \Pi^{\dagger}.$
2. $\Pi^2 = \Pi.$

Матриці, що задовольняють першу умову — тобто рівні своїй спряженій транспонованій — називаються ермітовими матрицями, а матриці, що задовольняють другу умову — тобто залишаються незмінними при піднесенні до квадрата — називаються ідемпотентними матрицями.

Варто зауважити, що слово проєкція іноді вживається для позначення будь-якої матриці, що задовольняє лише другу умову, але не обов'язково першу; в такому разі для матриць, що задовольняють обидві умови, зазвичай використовують термін ортогональна проєкція. У контексті квантової інформації та обчислень, проте, терміни проєкція та матриця проєкції частіше стосуються матриць, що задовольняють обидві умови.

Прикладом проєкції є матриця

$$\Pi = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \tag{4}$$

для довільного одиничного вектора $\vert \psi\rangle.$ Переконаємося, що ця матриця є ермітовою:

$$\Pi^{\dagger} = \bigl( \vert \psi \rangle \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger} = \bigl( \langle \psi \vert \bigr)^{\dagger}\bigl( \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \Pi.$$

Тут для отримання другої рівності ми скористалися формулою

$$(A B)^{\dagger} = B^{\dagger} A^{\dagger},$$

яка є справедливою для будь-яких двох матриць $A$ і $B$, для яких добуток $AB$ має сенс.

Щоб переконатися, що матриця $\Pi$ з $(4)$ є ідемпотентною, скористаємося тим, що $\vert\psi\rangle$ є одиничним вектором, тобто $\langle \psi \vert \psi\rangle = 1.$ Тоді маємо

$$\Pi^2 = \bigl( \vert\psi\rangle\langle \psi\vert \bigr)^2 = \vert\psi\rangle\langle \psi\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \Pi.$$

Більш загально, якщо $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ — довільна ортонормальна множина векторів, то матриця

$$\Pi = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \tag{5}$$

є проєкцією. Зокрема, маємо

$$\begin{aligned} \Pi^{\dagger} &= \biggl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \bigl(\vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert\bigr)^{\dagger} \\ &= \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ &= \Pi, \end{aligned}$$

і

$$\begin{aligned} \Pi^2 & = \biggl( \sum_{j = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert\Bigr)\Bigl(\sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\biggr) \\ & = \sum_{j = 1}^m\sum_{k = 1}^m \vert \psi_j\rangle \langle \psi_j \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert \\ & = \sum_{k = 1}^m \vert \psi_k\rangle \langle \psi_k \vert\\ & = \Pi, \end{aligned}$$

де ортонормальність $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}$ забезпечує передостанню рівність.

Насправді цим вичерпуються всі можливості: будь-яку проєкцію $\Pi$ можна записати у вигляді $(5)$ для деякого вибору ортонормальної множини $\{\vert \psi_1\rangle,\ldots,\vert \psi_m\rangle\}.$ (Строго кажучи, нульова матриця $\Pi=0,$ яка теж є проєкцією, є окремим випадком. Щоб вписати її у загальну форму $(5)$, треба допустити можливість порожньої суми, що дає нульову матрицю.)

Проєктивні вимірювання

Поняття вимірювання квантової системи є загальнішим, ніж просто вимірювання у стандартному базисі. Проєктивні вимірювання — це вимірювання, що описуються набором проєкцій, сума яких дорівнює одиничній матриці. У символах, набір $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ матриць проєкцій описує проєктивне вимірювання, якщо

$$\Pi_0 + \cdots + \Pi_{m-1} = \mathbb{I}.$$

Коли таке вимірювання виконується над системою $\mathsf{X}$, що перебуває в стані $\vert\psi\rangle,$ відбуваються дві речі:

1. Для кожного $k\in\{0,\ldots,m-1\},$ результат вимірювання дорівнює $k$ з імовірністю

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $k$}\bigr) = \bigl\| \Pi_k \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. Для того результату $k$, який отримало вимірювання, стан $\mathsf{X}$ стає

   $$\frac{\Pi_k \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_k \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

За бажанням для проєктивних вимірювань можна також обирати результати, відмінні від $\{0,\ldots,m-1\}.$ Більш загально, для будь-якої скінченної та непорожньої множини $\Sigma,$ якщо маємо набір матриць проєкцій

$$\{\Pi_a:a\in\Sigma\}$$

що задовольняє умову

$$\sum_{a\in\Sigma} \Pi_a = \mathbb{I},$$

то цей набір описує проєктивне вимірювання, можливі результати якого збігаються з множиною $\Sigma,$ де правила ті самі, що й раніше:

1. Для кожного $a\in\Sigma,$ результат вимірювання дорівнює $a$ з імовірністю

   $$\operatorname{Pr}\bigl(\text{outcome is $a$}\bigr) = \bigl\| \Pi_a \vert \psi \rangle \bigr\|^2.$$

2. Для того результату $a$, який отримало вимірювання, стан $\mathsf{X}$ стає

   $$\frac{\Pi_a \vert\psi\rangle}{\bigl\|\Pi_a \vert\psi\rangle\bigr\|}.$$

Наприклад, вимірювання у стандартному базисі є окремим випадком проєктивних вимірювань, де $\Sigma$ — множина класичних станів системи $\mathsf{X}$, а набір матриць проєкцій — це $\{\vert a\rangle\langle a\vert:a\in\Sigma\}.$

Ще один приклад проєктивного вимірювання, цього разу над двома кубітами $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ задається набором $\{\Pi_0,\Pi_1\},$ де

$$\Pi_0 = \vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert + \vert \phi^-\rangle\langle \phi^- \vert + \vert \psi^+\rangle\langle \psi^+ \vert \quad\text{and}\quad \Pi_1 = \vert\psi^-\rangle\langle\psi^-\vert.$$

Якщо маємо кілька систем, що разом перебувають у деякому квантовому стані, і проєктивне вимірювання виконується лише над однією з них, то дія аналогічна тому, що ми мали для вимірювань у стандартному базисі — і фактично тепер ми можемо описати цю дію значно простіше, ніж раніше.

Точніше, припустімо, що маємо дві системи $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ у квантовому стані $\vert\psi\rangle,$ і над системою $\mathsf{X}$ виконується проєктивне вимірювання, описане набором $\{\Pi_a : a\in\Sigma\},$ тоді як над $\mathsf{Y}$ нічого не робиться. Це еквівалентно виконанню проєктивного вимірювання, описаного набором

$$\bigl\{ \Pi_a \otimes \mathbb{I} \,:\, a\in\Sigma\bigr\}$$

над спільною системою $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$ Кожен результат вимірювання $a$ отримується з імовірністю

$$\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|^2,$$

і за умови появи результату $a$ стан спільної системи $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ стає

$$\frac{(\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle}{\bigl\| (\Pi_a \otimes \mathbb{I})\vert \psi\rangle \bigr\|}.$$

Реалізація проєктивних вимірювань

Довільні проєктивні вимірювання можна реалізувати за допомогою унітарних операцій, вимірювань у стандартному базисі та додаткової робочої системи — це буде пояснено нижче.

Припустімо, що $\mathsf{X}$ — деяка система, а $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ — проєктивне вимірювання над $\mathsf{X}.$ Цей розгляд легко узагальнити на проєктивні вимірювання з різними множинами результатів, але для зручності та простоти вважатимемо, що множина можливих результатів нашого вимірювання — це $\{0,\ldots,m-1\}.$

Зауважимо явно, що $m$ не обов'язково дорівнює кількості класичних станів $\mathsf{X}$ — позначимо кількість класичних станів $\mathsf{X}$ через $n$, тобто кожна матриця $\Pi_k$ є матрицею проєкції розміру $n\times n$.

Оскільки ми припускаємо, що $\{\Pi_0\ldots,\Pi_{m-1}\}$ представляє проєктивне вимірювання, обов'язково виконується

$$\sum_{k = 0}^{m-1} \Pi_k = \mathbb{I}_n.$$

Наша мета — виконати процес, що має той самий ефект, що й це проєктивне вимірювання над $\mathsf{X},$ але використовуючи лише унітарні операції та вимірювання у стандартному базисі.

Для цього скористаємося додатковою робочою системою $\mathsf{Y}$, і зокрема візьмемо множину класичних станів $\mathsf{Y}$ рівною $\{0,\ldots,m-1\}$ — такою ж, як і множина результатів проєктивного вимірювання. Ідея полягає в тому, що ми виконаємо вимірювання у стандартному базисі над $\mathsf{Y}$ і інтерпретуємо результат цього вимірювання як результат проєктивного вимірювання над $\mathsf{X}.$ Треба припустити, що $\mathsf{Y}$ ініціалізована у деякому фіксованому стані; виберемо $\vert 0\rangle.$ (Будь-який інший фіксований вектор квантового стану теж підійде, але вибір $\vert 0\rangle$ значно спрощує подальші пояснення.)

Зрозуміло, що щоб вимірювання $\mathsf{Y}$ у стандартному базисі давало нам інформацію про $\mathsf{X},$ потрібно, щоб $\mathsf{X}$ і $\mathsf{Y}$ якимось чином взаємодіяли перед вимірюванням $\mathsf{Y}$ — шляхом виконання унітарної операції над системою $(\mathsf{Y},\mathsf{X}).$ Розглянемо спочатку ось цю матрицю:

$$M = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \langle 0 \vert \otimes \Pi_k.$$

У явному вигляді, як так звана блокова матриця — тобто матриця матриць, яку ми інтерпретуємо як одну більшу матрицю — $M$ виглядає так:

$$M = \begin{pmatrix} \Pi_0 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \Pi_1 & 0 & \cdots & 0\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}.$$

Тут кожен $0$ позначає матрицю $n\times n$, заповнену нулями, тому вся матриця $M$ є матрицею розміру $nm\times nm$.

Сама по собі $M$ не є унітарною матрицею (за винятком тривіального випадку $m=1$, де $\Pi_0 = \mathbb{I}$ і $M = \mathbb{I}$), оскільки унітарні матриці не можуть мати стовпців (або рядків), що повністю складаються з нулів: стовпці унітарних матриць утворюють ортонормальні базиси, а нульовий вектор не є одиничним.

Проте перші $n$ стовпців матриці $M$ є ортонормальними — це випливає з того, що $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$ є вимірюванням. Щоб підтвердити це, зауважимо, що для кожного $j\in\{0,\ldots,n-1\}$ вектор, що утворює $j$-й стовпець $M$, має вигляд:

$$\vert \psi_j\rangle = M \vert 0, j\rangle = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert j\rangle.$$

Зауважимо, що стовпці нумеруються починаючи з $0.$ Скалярний добуток $i$-го стовпця та $j$-го стовпця при $i,j\in\{0,\ldots,n-1\}$ дорівнює

$$\begin{aligned} \langle \psi_i \vert \psi_j \rangle & = \biggl(\sum_{k = 0}^{m-1} \vert k \rangle \otimes \Pi_k \vert i\rangle\biggr)^{\dagger} \biggl(\sum_{l = 0}^{m-1} \vert l \rangle \otimes \Pi_l \vert j\rangle\biggr) \\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \sum_{l = 0}^{m-1} \langle k \vert l \rangle \langle i \vert \Pi_k \Pi_l \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \sum_{k = 0}^{m-1} \langle i \vert \Pi_k \vert j\rangle\\ & = \langle i \vert \mathbb{I} \vert j \rangle\\ & = \begin{cases} 1 & i = j\\ 0 & i\neq j, \end{cases} \end{aligned}$$

що і потрібно було показати.

Отже, оскільки перші $n$ стовпців матриці $M$ є ортонормальними, можна замінити всі решта нульових елементів на деякий вибір комплексних чисел так, щоб уся матриця стала унітарною.

$$U = \begin{pmatrix} \Pi_0 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \Pi_1 & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Pi_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Маючи матриці $\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1},$ можна обчислити відповідні матриці для заповнення блоків, позначених $\fbox{?}$, — за допомогою процесу Ґрама–Шмідта — але для цього обговорення не важливо, якими саме будуть ці матриці.

Тепер можна описати процес вимірювання: спочатку виконуємо $U$ над спільною системою $(\mathsf{Y},\mathsf{X}),$ а потім вимірюємо $\mathsf{Y}$ у стандартному базисі. Для довільного стану $\vert \phi \rangle$ системи $\mathsf{X}$ отримуємо стан

$$U \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = M \bigl( \vert 0\rangle \vert \phi\rangle\bigr) = \sum_{k = 0}^{m-1} \vert k\rangle \otimes \Pi_k \vert\phi\rangle,$$

де перша рівність випливає з того, що $U$ і $M$ збігаються на перших $n$ стовпцях. Коли ми виконуємо вимірювання над $\mathsf{Y}$ у стандартному базисі, кожен результат $k$ отримується з імовірністю

$$\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|^2,$$

і в цьому разі стан $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ стає

$$\vert k\rangle \otimes \frac{\Pi_k \vert \phi\rangle}{\bigl\| \Pi_k \vert \phi\rangle \bigr\|}.$$

Отже, $\mathsf{Y}$ зберігає копію результату вимірювання, а $\mathsf{X}$ змінюється точно так, як якби проєктивне вимірювання, описане набором $\{\Pi_0,\ldots,\Pi_{m-1}\}$, було виконане безпосередньо над $\mathsf{X}.$