Квантова інформація

Тепер ми готові перейти до квантової інформації, де ми робимо інший вибір щодо типу вектора, який представляє стан — в цьому випадку квантовий стан — системи, що розглядається. Як і в попередньому обговоренні класичної інформації, ми будемо стосуватися систем, що мають скінченні та непорожні множини класичних станів, і будемо використовувати більшу частину тієї ж нотації.

Вектори квантових станів

Квантовий стан системи представлений вектором-стовпцем, подібним до ймовірнісного стану. Як і раніше, індекси вектора позначають класичні стани системи. Вектори, що представляють квантові стани, характеризуються цими двома властивостями:

1. Елементи вектора квантового стану є комплексними числами.
2. Сума квадратів абсолютних значень елементів вектора квантового стану дорівнює $1.$

Таким чином, на відміну від ймовірнісних станів, вектори, що представляють квантові стани, не повинні мати невід'ємні дійсні числа як елементи, і саме сума квадратів абсолютних значень елементів (а не сума елементів) повинна дорівнювати $1.$ Якими б простими не були ці зміни, вони породжують відмінності між квантовою та класичною інформацією; будь-яке прискорення від квантового комп'ютера або покращення від протоколу квантового зв'язку в кінцевому рахунку походить від цих простих математичних змін.

Евклідова норма вектора-стовпця

$$v = \begin{pmatrix} \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_n \end{pmatrix}$$

позначається і визначається наступним чином:

$$\| v \| = \sqrt{\sum_{k=1}^n |\alpha_k|^2}.$$

Умова, що сума квадратів абсолютних значень вектора квантового стану дорівнює $1$, тому еквівалентна тому, що цей вектор має евклідову норму, що дорівнює $1.$ Тобто, вектори квантових станів є одиничними векторами відносно евклідової норми.

Приклади станів кубіта

Термін кубіт відноситься до квантової системи, класична множина станів якої є $\{0,1\}.$ Тобто, кубіт — це насправді просто біт — але використовуючи цю назву, ми явно визнаємо, що цей біт може перебувати в квантовому стані.

Ось приклади квантових станів кубіта:

$$\begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0\rangle \quad\text{та}\quad \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1\rangle,$$ $$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}\,\vert 1\rangle, \tag{1}$$

та

$$\begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \frac{1+2i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle.$$

Перші два приклади, $\vert 0\rangle$ та $\vert 1\rangle,$ ілюструють, що елементи стандартного базису є дійсними векторами квантових станів: їхні елементи є комплексними числами, де уявна частина всіх цих чисел випадково дорівнює $0,$ і обчислення суми квадратів абсолютних значень елементів дає

$$\vert 1\vert^2 + \vert 0\vert^2 = 1 \quad\text{та}\quad \vert 0\vert^2 + \vert 1\vert^2 = 1,$$

як і потрібно. Подібно до класичного випадку, ми асоціюємо вектори квантових станів $\vert 0\rangle$ та $\vert 1\rangle$ з кубітом, що перебуває у класичному стані $0$ та $1$ відповідно.

Для двох інших прикладів, ми знову маємо комплексні числа як елементи, і обчислення суми квадрата абсолютного значення елементів дає

$$\biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 + \biggl\vert\frac{1}{\sqrt{2}}\biggr\vert^2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$$

та

$$\biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 + \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9} + \frac{4}{9} = 1.$$

Тому це дійсні вектори квантових станів. Зверніть увагу, що вони є лінійними комбінаціями стандартних базисних станів $\vert 0 \rangle$ та $\vert 1 \rangle,$ і з цієї причини ми часто говоримо, що вони є суперпозиціями станів $0$ та $1.$ В контексті квантових станів, суперпозиція та лінійна комбінація є по суті синонімами.

Приклад $(1)$ вектора стану кубіта вище зустрічається дуже часто — він називається плюс-станом і позначається наступним чином:

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Ми також використовуємо позначення

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle$$

для позначення пов'язаного вектора квантового стану, де другий елемент є від'ємним, а не додатним, і ми називаємо цей стан мінус-станом.

Такого роду позначення, де всередині кета з'являється якийсь символ, що не відноситься до класичного стану, є звичайним — ми можемо використовувати будь-яку назву всередині кета для найменування вектора. Дуже поширеним є використання позначення $\vert\psi\rangle,$ або іншої назви замість $\psi,$ для позначення довільного вектора, який не обов'язково є вектором стандартного базису.

Зверніть увагу, що якщо ми маємо вектор $\vert \psi \rangle$, індекси якого відповідають деякій класичній множині станів $\Sigma,$ і якщо $a\in\Sigma$ є елементом цієї класичної множини станів, то матричний добуток $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ дорівнює елементу вектора $\vert \psi \rangle$, індекс якого відповідає $a.$ Як і коли $\vert \psi \rangle$ був вектором стандартного базису, ми пишемо $\langle a \vert \psi \rangle$, а не $\langle a\vert \vert \psi\rangle$ для зручності читання.

Наприклад, якщо $\Sigma = \{0,1\}$ і

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix}, \tag{2}$$

тоді

$$\langle 0 \vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \quad\text{та}\quad \langle 1 \vert \psi \rangle = -\frac{2}{3}.$$

Загалом, при використанні нотації Дірака для довільних векторів, позначення $\langle \psi \vert$ відноситься до вектора-рядка, отриманого шляхом взяття спряженого транспонування вектора-стовпця $\vert\psi\rangle,$ де вектор транспонується з вектора-стовпця в вектор-рядок, і кожен елемент замінюється його комплексним спряженим. Наприклад, якщо $\vert\psi\rangle$ є вектором, визначеним у $(2),$ тоді

$$\langle\psi\vert = \frac{1-2i}{3} \langle 0\vert - \frac{2}{3} \langle 1\vert = \begin{pmatrix} \frac{1-2i}{3} & -\frac{2}{3} \end{pmatrix}.$$

Причина, чому ми беремо комплексне спряження, на додаток до транспонування, стане зрозумілішою пізніше, коли ми обговоримо скалярні добутки.

Квантові стани інших систем

Ми можемо розглядати квантові стани систем з довільними класичними множинами станів. Наприклад, ось вектор квантового стану для вимикача електричного вентилятора:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[1mm] 0 \\[1mm] -\frac{i}{2}\\[1mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{1}{2} \vert\mathrm{high}\rangle - \frac{i}{2} \vert\mathrm{low}\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert\mathrm{off}\rangle.$$

Припущення тут полягає в тому, що класичні стани впорядковані як high, medium, low, off. Може не бути особливої причини, чому б хтось хотів розглянути квантовий стан вимикача електричного вентилятора, але це можливо в принципі.

Ось ще один приклад, на цей раз квантової десяткової цифри, класичні стани якої є $0, 1, \ldots, 9:$

$$\frac{1}{\sqrt{385}} \begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 3\\ 4\\ 5\\ 6\\ 7\\ 8\\ 9\\ 10 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{385}}\sum_{k = 0}^9 (k+1) \vert k \rangle.$$

Цей приклад ілюструє зручність запису векторів станів за допомогою нотації Дірака. Для цього конкретного прикладу представлення вектора-стовпця є просто незручним — але якби було значно більше класичних станів, воно стало б непридатним для використання. Нотація Дірака, навпаки, підтримує точні описи великих та складних векторів у компактній формі.

Нотація Дірака також дозволяє виразити вектори, де різні аспекти векторів є невизначеними, тобто вони невідомі або ще не встановлені. Наприклад, для довільної класичної множини станів $\Sigma,$ ми можемо розглянути вектор квантового стану

$$\frac{1}{\sqrt{|\Sigma|}} \sum_{a\in\Sigma} \vert a \rangle,$$

де позначення $\sqrt{|\Sigma|}$ відноситься до евклідової норми $\Sigma,$ і $\vert\Sigma\vert$ у цьому випадку є просто кількістю елементів у $\Sigma.$ Словами, це є рівномірною суперпозицією над класичними станами в $\Sigma.$

Ми зустрінемо набагато складніші вирази векторів квантових станів у пізніших уроках, де використання векторів-стовпців було б непрактичним або неможливим. Насправді, ми переважно відмовимося від представлення векторів станів у вигляді векторів-стовпців, за винятком векторів з невеликою кількістю елементів (часто в контексті прикладів), де може бути корисно відобразити та вивчити елементи явно.

Ось ще одна причина, чому вираз векторів станів за допомогою нотації Дірака є зручним: він усуває необхідність явно вказувати впорядкування класичних станів (або, еквівалентно, відповідність між класичними станами та індексами векторів).

Наприклад, вектор квантового стану для системи з класичною множиною станів $\{\clubsuit,\diamondsuit,\heartsuit,\spadesuit\},$ наприклад

$$\frac{1}{2} \vert\clubsuit\rangle + \frac{i}{2} \vert\diamondsuit\rangle - \frac{1}{2} \vert\heartsuit\rangle - \frac{i}{2} \vert\spadesuit\rangle,$$

однозначно описаний цим виразом, і насправді немає потреби обирати або вказувати впорядкування цієї класичної множини станів для розуміння виразу. У цьому випадку не важко вказати впорядкування стандартних мастей карт — наприклад, ми могли б обрати їх впорядкування таким чином: $\clubsuit,$ $\diamondsuit,$ $\heartsuit,$ $\spadesuit.$ Якщо ми оберемо саме це впорядкування, вектор квантового стану вище буде представлений вектором-стовпцем

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} \end{pmatrix}.$$

Загалом, однак, зручно просто ігнорувати питання про те, як впорядковані класичні множини станів.

Вимірювання квантових станів

Далі давайте розглянемо, що відбувається, коли квантовий стан вимірюється, зосереджуючись на простому типі вимірювання, відомому як вимірювання в стандартному базисі. (Існують більш загальні поняття вимірювання, які ми обговоримо пізніше.)

Подібно до ймовірнісного випадку, коли вимірюється система в квантовому стані, гіпотетичний спостерігач, що виконує вимірювання, побачить не вектор квантового стану, а якийсь класичний стан. В цьому сенсі вимірювання діють як інтерфейс між квантовою та класичною інформацією, через який класична інформація витягується з квантових станів.

Правило просте: якщо вимірюється квантовий стан, кожен класичний стан системи з'являється з ймовірністю, що дорівнює квадрату абсолютного значення елемента у векторі квантового стану, що відповідає цьому класичному стану. Це відоме як правило Борна в квантовій механіці. Зверніть увагу, що це правило узгоджується з вимогою, що квадрати абсолютних значень елементів у векторі квантового стану складаються в $1,$ оскільки воно означає, що ймовірності різних результатів вимірювання класичних станів складаються в $1.$

Наприклад, вимірювання плюс-стану

$$\vert {+} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

призводить до двох можливих результатів, $0$ та $1,$ з ймовірностями наступним чином.

$$\operatorname{Pr}(\text{результат є 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{результат є 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {+} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Цікаво, що вимірювання мінус-стану

$$\vert {-} \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle$$

призводить до абсолютно таких же ймовірностей для двох результатів.

$$\operatorname{Pr}(\text{результат є 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$ $$\operatorname{Pr}(\text{результат є 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert {-} \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{1}{\sqrt{2}} \biggr\vert^2 = \frac{1}{2}$$

Це дає підстави припустити, що щодо вимірювань у стандартному базисі, плюс і мінус стани нічим не відрізняються. Чому ж тоді ми хочемо робити між ними відмінність? Відповідь полягає в тому, що ці два стани поводяться по-різному, коли до них застосовуються операції, як ми обговоримо в наступному підрозділі нижче.

Звичайно, вимірювання квантового стану $\vert 0\rangle$ призводить до класичного стану $0$ з певністю, і так само вимірювання квантового стану $\vert 1\rangle$ призводить до класичного стану $1$ з певністю. Це узгоджується з ідентифікацією цих квантових станів з перебуванням системи у відповідному класичному стані, як було запропоновано раніше.

Як останній приклад, вимірювання стану

$$\vert \psi \rangle = \frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle$$

призводить до того, що два можливі результати з'являються з ймовірностями наступним чином:

$$\operatorname{Pr}(\text{результат є 0}) = \bigl\vert \langle 0 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert \frac{1+2i}{3} \biggr\vert^2 = \frac{5}{9},$$

та

$$\operatorname{Pr}(\text{результат є 1}) = \bigl\vert \langle 1 \vert \psi \rangle \bigr\vert^2 = \biggl\vert -\frac{2}{3} \biggr\vert^2 = \frac{4}{9}.$$

Унітарні операції

До цього часу може бути не очевидно, чому квантова інформація фундаментально відрізняється від класичної інформації. Тобто, коли вимірюється квантовий стан, ймовірність отримання кожного класичного стану дається квадратом абсолютного значення відповідного елемента вектора — то чому б просто не записати ці ймовірності у вектор ймовірностей?

Відповідь, принаймні частково, полягає в тому, що набір дозволених операцій, які можна виконувати на квантовому стані, відрізняється від того, що є для класичної інформації. Подібно до ймовірнісного випадку, операції на квантових станах є лінійними відображеннями — але замість того, щоб бути представленими стохастичними матрицями, як у класичному випадку, операції на векторах квантових станів представлені унітарними матрицями.

Квадратна матриця $U$ з комплексними числами як елементами є унітарною, якщо вона задовольняє рівняння

$$\begin{aligned} U U^{\dagger} &= \mathbb{I} \\ U^{\dagger} U &= \mathbb{I}. \end{aligned} \tag{3}$$

Тут $\mathbb{I}$ є одиничною матрицею, і $U^{\dagger}$ є спряженим транспонуванням $U,$ тобто матрицею, отриманою шляхом транспонування $U$ і взяття комплексного спряження кожного елемента.

$$U^{\dagger} = \overline{U^T}$$

Якщо одна з двох рівностей з нумерацією $(3)$ вище є істинною, то інша також має бути істинною. Обидві рівності еквівалентні тому, що $U^{\dagger}$ є оберненою до $U:$

$$U^{-1} = U^{\dagger}.$$

(Попередження: якщо $M$ не є квадратною матрицею, то може бути так, що $M^{\dagger} M = \mathbb{I}$ і $M M^{\dagger} \neq \mathbb{I},$ наприклад. Еквівалентність двох рівностей у першому рівнянні вище справедлива тільки для квадратних матриць.)

Умова, що $U$ є унітарною, еквівалентна умові, що множення на $U$ не змінює евклідову норму жодного вектора. Тобто, $n\times n$ матриця $U$ є унітарною тоді і тільки тоді, коли $\| U \vert \psi \rangle \| = \|\vert \psi \rangle \|$ для кожного $n$-вимірного вектора-стовпця $\vert \psi \rangle$ з комплексними числами як елементами. Таким чином, оскільки множина всіх векторів квантових станів є такою ж, як множина векторів з евклідовою нормою, що дорівнює $1,$ множення унітарної матриці на вектор квантового стану призводить до іншого вектора квантового стану.

Справді, унітарні матриці є в точності множиною лінійних відображень, які завжди перетворюють вектори квантових станів на інші вектори квантових станів. Зверніть увагу тут на подібність до класичного ймовірнісного випадку, де операції асоціюються зі стохастичними матрицями, які є такими, що завжди перетворюють вектори ймовірностей у вектори ймовірностей.

Приклади унітарних операцій на кубітах

Наступний список описує деякі часто зустрічаються унітарні операції на кубітах.

1. Операції Паулі. Чотири матриці Паулі такі:

   $$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

   Поширена альтернативна нотація є $X = \sigma_x,$ $Y = \sigma_y,$ та $Z = \sigma_z$ (але майте на увазі, що літери $X,$ $Y,$ і $Z$ також часто використовуються для інших цілей). Операція $X$ також називається перекиданням біта або операцією NOT, оскільки вона викликає цю дію на біти:

   $$X \vert 0\rangle = \vert 1\rangle \quad \text{та} \quad X \vert 1\rangle = \vert 0\rangle.$$

   Операція $Z$ також називається перекиданням фази, і вона має таку дію:

   $$Z \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad \text{та} \quad Z \vert 1\rangle = - \vert 1\rangle.$$

2. Операція Адамара. Операція Адамара описується цією матрицею:

   $$H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}.$$

3. Операції фази. Операція фази — це операція, що описується матрицею

   $$P_{\theta} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{i\theta} \end{pmatrix}$$

   для будь-якого вибору дійсного числа $\theta.$ Операції

   $$S = P_{\pi/2} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \quad \text{та} \quad T = P_{\pi/4} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$$

   є особливо важливими прикладами. Інші приклади включають $\mathbb{I} = P_0$ та $Z = P_{\pi}.$

Всі щойно визначені матриці є унітарними, і тому представляють квантові операції на одному кубіті. Наприклад, ось обчислення, що перевіряє, що $H$ є унітарною:

$$\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}^{\dagger} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} + \frac{1}{2} & \frac{1}{2} - \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} - \frac{1}{2} & \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

А ось дія операції Адамара на кілька часто зустрічаються векторів станів кубіта.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert + \rangle\\[6mm] H \vert 1 \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \vert - \rangle\\[6mm] H \vert + \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\[2mm] 0 \end{pmatrix} = \vert 0 \rangle\\[6mm] H \vert - \rangle & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}}\\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[2mm] 1 \end{pmatrix} = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Більш стисло, ми отримуємо ці чотири рівняння.

$$\begin{aligned} H \vert 0 \rangle = \vert {+} \rangle & \qquad H \vert {+} \rangle = \vert 0 \rangle \\[1mm] H \vert 1 \rangle = \vert {-} \rangle & \qquad H \vert {-} \rangle = \vert 1 \rangle \end{aligned}$$

Варто зупинитися, щоб розглянути той факт, що $H\vert {+} \rangle = \vert 0\rangle$ і $H\vert {-} \rangle = \vert 1\rangle,$ у світлі питання, запропонованого в попередньому розділі щодо відмінності між станами $\vert {+} \rangle$ і $\vert {-} \rangle.$

Уявіть ситуацію, в якій кубіт підготовлений в одному з двох квантових станів $\vert {+} \rangle$ і $\vert {-} \rangle,$ але де нам невідомо, в якому саме. Вимірювання будь-якого стану дає той самий розподіл виходів, що й інший, як ми вже спостерігали: $0$ і $1$ обидва з'являються з рівною ймовірністю $1/2,$ що не надає абсолютно жодної інформації про те, який з двох станів був підготовлений.

Однак, якщо ми спочатку застосуємо операцію Адамара, а потім вимірюємо, ми отримаємо результат $0$ з певністю, якщо початковий стан був $\vert {+} \rangle,$ і ми отримаємо результат $1,$ знову з певністю, якщо початковий стан був $\vert {-} \rangle.$ Тому квантові стани $\vert {+} \rangle$ і $\vert {-} \rangle$ можуть бути розрізнені ідеально. Це показує, що зміни знаку, або більш загально зміни фаз (які також традиційно називаються аргументами) комплексних чисел — елементів вектора квантового стану, можуть значно змінити цей стан.

Ось ще один приклад, що показує, як операція Адамара діє на вектор стану, який був згаданий раніше.

$$H \biggl(\frac{1+2i}{3} \vert 0\rangle - \frac{2}{3} \vert 1\rangle\biggr) = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1+2i}{3}\\[2mm] -\frac{2}{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}}\\[2mm] \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \frac{-1+2i}{3\sqrt{2}} | 0 \rangle + \frac{3+2i}{3\sqrt{2}} | 1 \rangle$$

Далі, давайте розглянемо дію операції $T$ на плюс-стан.

$$T \vert {+} \rangle = T \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr) = \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 0\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} T\vert 1\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle$$

Зверніть увагу тут, що ми не турбувалися про перетворення в еквівалентні форми матриця/вектор, а натомість використовували лінійність матричного множення разом з формулами

$$T \vert 0\rangle = \vert 0\rangle \quad\text{та}\quad T \vert 1\rangle = \frac{1 + i}{\sqrt{2}} \vert 1\rangle.$$

Подібним чином, ми можемо обчислити результат застосування операції Адамара до щойно отриманого вектора квантового стану:

$$\begin{aligned} H\, \biggl(\frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} \vert 1\rangle\biggr) & = \frac{1}{\sqrt{2}} H \vert 0\rangle + \frac{1+i}{2} H \vert 1\rangle\\ & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert +\rangle + \frac{1+i}{2} \vert -\rangle \\ & = \biggl(\frac{1}{2} \vert 0\rangle + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\biggr) + \biggl(\frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 0\rangle - \frac{1+i}{2\sqrt{2}} \vert 1\rangle\biggr)\\ & = \biggl(\frac{1}{2} + \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 0\rangle + \biggl(\frac{1}{2} - \frac{1+i}{2\sqrt{2}}\biggr) \vert 1\rangle. \end{aligned}$$

Два підходи — один, де ми явно перетворюємо в матричні представлення, і інший, де ми використовуємо лінійність і підставляємо дії операції на стани стандартного базису — є еквівалентними. Ми можемо використовувати той, який є більш зручним у конкретному випадку.

Композиції унітарних операцій на кубітах

Композиції унітарних операцій представлені матричним множенням, так само, як ми мали в ймовірнісному випадку.

Наприклад, припустимо, що ми спочатку застосовуємо операцію Адамара, за нею операцію $S$, за нею ще одну операцію Адамара. Результуюча операція, яку ми назвемо $R$ для цього прикладу, є наступною:

$$R = H S H = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}.$$

Ця унітарна операція $R$ є цікавим прикладом. Застосовуючи цю операцію двічі, що еквівалентно піднесенню її матричного представлення до квадрату, ми отримуємо операцію NOT:

$$R^2 = \begin{pmatrix} \frac{1+i}{2} & \frac{1-i}{2} \\[2mm] \frac{1-i}{2} & \frac{1+i}{2} \end{pmatrix}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\[2mm] 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

Тобто, $R$ є квадратним коренем з NOT операції. Така поведінка, коли одна й та сама операція застосовується двічі для отримання операції NOT, неможлива для класичної операції на одному біті.

Унітарні операції на більших системах

У наступних уроках ми побачимо багато прикладів унітарних операцій на системах з більш ніж двома класичними станами. Приклад унітарної операції на системі з трьома класичними станами дається наступною матрицею.

$$A = \begin{pmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {1} & {0} & {0} \\ {0} & {1} & {0} \end{pmatrix}$$

Припускаючи, що класичні стани системи є $0,$ $1,$ і $2,$ ми можемо описати цю операцію як додавання за модулем $3.$

$$A \vert 0\rangle = \vert 1\rangle, \quad A \vert 1\rangle = \vert 2\rangle, \quad\text{та}\quad A \vert 2\rangle = \vert 0\rangle$$

Матриця $A$ є прикладом матриці перестановки, яка є матрицею, в якій кожен рядок і стовпець має рівно одну $1.$ Такі матриці просто переставляють, або переміщують, елементи векторів, на які вони діють. Одинична матриця є, мабуть, найпростішим прикладом матриці перестановки, і іншим прикладом є операція NOT на біті або кубіті. Кожна матриця перестановки, в будь-якій додатній цілій розмірності, є унітарною. Це єдині приклади матриць, що представляють як класичні, так і квантові операції: матриця є як стохастичною, так і унітарною тоді і тільки тоді, коли вона є матрицею перестановки.

Ще один приклад унітарної матриці, на цей раз $4\times 4$ матриці, є наступним:

$$U = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\[1mm] 1 & i & -1 & -i \\[1mm] 1 & -1 & 1 & -1 \\[1mm] 1 & -i & -1 & i \end{pmatrix}.$$

Ця матриця описує операцію, відому як квантове перетворення Фур'є, конкретно у випадку $4\times 4$. Квантове перетворення Фур'є може бути визначене більш загально, для будь-якої додатної цілої розмірності $n,$ і відіграє ключову роль у квантових алгоритмах.