Точність

У цій частині уроку ми обговоримо точність між квантовими станами — міру їхньої схожості, або ступінь їхнього «перекриття».

Маючи два вектори квантових станів, точність між чистими станами, що відповідають цим векторам, дорівнює модулю скалярного добутку між векторами квантових станів. Це дає базовий спосіб виміряти їхню схожість: результат — значення від $0$ до $1,$ де більші значення означають більшу схожість. Зокрема, значення дорівнює нулю для ортогональних станів (за визначенням), тоді як значення дорівнює $1$ для станів, еквівалентних з точністю до глобальної фази.

Інтуїтивно кажучи, точність можна розглядати як розширення цього базового показника схожості з векторів квантових станів на матриці густини.

Означення точності

Варто почати з означення точності. На перший погляд наступне означення може здатися незвичним або загадковим і, мабуть, не зручним для роботи. Проте функція, яку воно визначає, виявляється такою, що має багато цікавих властивостей і кілька альтернативних формулювань, що робить її значно зручнішою у роботі, ніж може спочатку здатися.

Означення

Нехай $\rho$ і $\sigma$ — матриці густини, що описують квантові стани однієї і тієї ж системи. Точність між $\rho$ і $\sigma$ визначається як

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}.$$

Зауваження

Попри те, що це поширене означення, також поширено визначати точність як квадрат величини, визначеної тут, яка тоді називається кореневою точністю. Жодне із означень не є правильнішим за інше — це, по суті, питання вподобань. Проте слід завжди уважно розуміти або уточнювати, яке саме означення використовується.

Щоб осмислити формулу в означенні, зауважимо спочатку, що $\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}$ є додатньо напіввизначеною матрицею:

$$\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho} = M^{\dagger} M$$

де $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}.$ Як і всі додатньо напіввизначені матриці, ця матриця має єдиний додатньо напіввизначений квадратний корінь, слід якого і є точністю.

Для будь-якої квадратної матриці $M$ власні значення двох додатньо напіввизначених матриць $M^{\dagger} M$ і $M M^{\dagger}$ завжди збігаються, і те саме справджується для квадратних коренів цих матриць. Обираючи $M = \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}$ і використовуючи той факт, що слід квадратної матриці — це сума її власних значень, отримуємо:

$$\begin{aligned} \operatorname{F}(\rho,\sigma) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\rho} \sigma \sqrt{\rho}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M} = \operatorname{Tr}\sqrt{M M^{\dagger}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\sqrt{\sigma} \rho \sqrt{\sigma}}\\ & = \operatorname{F}(\sigma,\rho). \end{aligned}$$

Отже, хоча це не є очевидним з означення, точність є симетричною відносно своїх двох аргументів.

Точність через слідову норму

Еквівалентний спосіб виразити точність — наступна формула:

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \bigl\|\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\bigr\|_1.$$

Тут ми бачимо слідову норму, з якою ми вже зустрічались у попередньому уроці в контексті розрізнення квантових станів. Слідова норма (не обов'язково квадратної) матриці $M$ може бути визначена як

$$\| M \|_1 = \operatorname{Tr}\sqrt{M^{\dagger} M},$$

і застосовуючи це означення до матриці $\sqrt{\sigma}\sqrt{\rho},$ отримуємо формулу з означення.

Альтернативний спосіб виразити слідову норму (квадратної) матриці $M$ — наступна формула.

$$\| M \|_1 = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert \operatorname{Tr}(M U) \bigr\vert.$$

Тут максимум береться по всіх унітарних матрицях $U,$ що мають ту саму кількість рядків і стовпців, що й $M.$ Застосовуючи цю формулу до нашої ситуації, отримуємо ще один вираз для точності.

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max_{U\:\text{unitary}} \bigl\vert\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{\sigma}\sqrt{\rho}\, U\bigr) \bigr\vert$$

Точність для чистих станів

Ще одне зауваження щодо означення точності: кожен чистий стан (як матриця густини) дорівнює своєму власному квадратному кореню, що дозволяє значно спростити формулу для точності, коли один або обидва стани є чистими. Зокрема, якщо один з двох станів є чистим, маємо таку формулу.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \sigma \bigr) = \sqrt{\langle \phi\vert \sigma \vert \phi \rangle}$$

Якщо обидва стани чисті, формула спрощується до модуля скалярного добутку відповідних векторів квантових станів, як зазначалося на початку розділу.

$$\operatorname{F}\bigl( \vert\phi\rangle\langle\phi\vert, \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigr) = \bigl\vert \langle \phi\vert \psi \rangle \bigr\vert$$

Основні властивості точності

Точність має чимало чудових властивостей і кілька альтернативних формулювань. Ось лише кілька основних властивостей без доведень.

1. Для будь-яких двох матриць густини $\rho$ і $\sigma$ однакового розміру точність $\operatorname{F}(\rho,\sigma)$ лежить між нулем і одиницею: $0\leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq 1.$ Маємо $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=0$ тоді і тільки тоді, коли $\rho$ і $\sigma$ мають ортогональні образи (тобто їх можна розрізнити без помилки), і $\operatorname{F}(\rho,\sigma)=1$ тоді і тільки тоді, коли $\rho = \sigma.$
2. Точність є мультиплікативною, тобто точність між двома добутковими станами дорівнює добутку окремих точностей: $$\operatorname{F}(\rho_1\otimes\cdots\otimes\rho_m,\sigma_1\otimes\cdots\otimes\sigma_m) = \operatorname{F}(\rho_1,\sigma_1)\cdots \operatorname{F}(\rho_m,\sigma_m).$$
3. Точність між станами не зменшується під дією будь-якого каналу. Тобто, якщо $\rho$ і $\sigma$ — матриці густини, а $\Phi$ — канал, який може приймати ці два стани як вхідні дані, то обов'язково виконується $$\operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \operatorname{F}(\Phi(\rho),\Phi(\sigma)).$$
4. Нерівності Фукса–ван де Граафа встановлюють тісний (хоча й не точний) зв'язок між точністю та слідовою відстанню: для будь-яких двох станів $\rho$ і $\sigma$ маємо $$1 - \frac{1}{2}\|\rho - \sigma\|_1 \leq \operatorname{F}(\rho,\sigma) \leq \sqrt{1 - \frac{1}{4}\|\rho - \sigma\|_1^2}.$$

Останню властивість можна зобразити графічно:

Конкретно, для будь-якого вибору станів $\rho$ і $\sigma$ однієї системи горизонтальна лінія, що перетинає вісь $y$ у точці $\operatorname{F}(\rho,\sigma),$ і вертикальна лінія, що перетинає вісь $x$ у точці $\frac{1}{2}\|\rho-\sigma\|_1,$ повинні перетинатися у сірій ділянці, обмеженій знизу прямою $y = 1-x$ і зверху одиничним колом. Найцікавіша ділянка цього графіка з практичної точки зору — верхній лівий кут сірої зони: якщо точність між двома станами близька до одиниці, то їхня слідова відстань близька до нуля, і навпаки.

Лема про м'яке вимірювання

Далі розглянемо простий, але важливий факт, відомий як лема про м'яке вимірювання, що пов'язує точність з недеструктивними вимірюваннями. Це дуже корисна лема, що зустрічається час від часу, і вона також примітна тим, що, здавалося б, незграбне означення точності робить доведення леми дуже простим.

Постановка наступна. Нехай $\mathsf{X}$ — система у стані $\rho,$ а $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ — набір додатньо напіввизначених матриць, що представляють загальне вимірювання системи $\mathsf{X}.$ Припустимо далі, що при виконанні цього вимірювання над системою $\mathsf{X}$ у стані $\rho$ один з результатів є дуже ймовірним. Для конкретності скажімо, що ймовірним результатом вимірювання є $0,$ і зокрема припустимо, що

$$\operatorname{Tr}(P_0 \rho) > 1 - \varepsilon$$

для малого додатнього дійсного числа $\varepsilon > 0.$

Лема про м'яке вимірювання стверджує, що за цих умов недеструктивне вимірювання, отримане з $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ за допомогою теореми Наймарка, спричиняє лише незначне збурення $\rho$ у випадку спостереження ймовірного результату $0.$

Точніше, лема стверджує, що квадрат точності між $\rho$ і станом, отриманим після недеструктивного вимірювання за умови, що результатом є $0,$ більший за $1-\varepsilon.$

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 > 1-\varepsilon.$$

Для доведення нам знадобиться базовий факт про вимірювання. Матриці вимірювання $P_0, \ldots, P_{m-1}$ є додатньо напіввизначеними і в сумі дають тотожну матрицю, з чого можна зробити висновок, що всі власні значення $P_0$ — дійсні числа між $0$ і $1.$ Це випливає з того, що для будь-якого одиничного вектора $\vert\psi\rangle$ значення $\langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle$ є невід'ємним дійсним числом для кожного $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ (оскільки кожна $P_a$ є додатньо напіввизначеною), а ця сума чисел дорівнює одиниці.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} \langle \psi \vert P_a \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert \psi \rangle = \langle \psi \vert \mathbb{I} \vert \psi \rangle = 1.$$

Отже, $\langle \psi \vert P_0 \vert \psi \rangle$ завжди є дійсним числом між $0$ і $1,$ а це означає, що кожне власне значення $P_0$ є дійсним числом між $0$ і $1,$ оскільки ми можемо вибрати $\vert\psi\rangle$ одиничним власним вектором, що відповідає будь-якому власному значенню, яке нас цікавить.

З цього спостереження можна зробити такий висновок для будь-якої матриці густини $\rho.$

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) \geq \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

Детальніше, починаючи зі спектрального розкладу

$$P_0 = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert\psi_k\rangle\langle\psi_k\vert$$

робимо висновок, що

$$\operatorname{Tr}\bigl( \sqrt{P_0} \rho\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle \geq \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 \rho\bigr)$$

з того факту, що $\langle \psi_k \vert \rho \vert \psi_k \rangle$ — невід'ємне дійсне число і $\sqrt{\lambda_k} \geq \lambda_k$ для кожного $k = 0,\ldots,n-1.$ (Піднесення до квадрата числа між $0$ і $1$ ніколи не робить його більшим.)

Тепер можемо довести лему про м'яке вимірювання, обчислюючи точність і використовуючи нашу нерівність. Спочатку спростимо вираз, який нас цікавить.

$$\begin{aligned} \operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) & = \operatorname{Tr}\sqrt{\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\\ & = \operatorname{Tr}\sqrt{\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)^2}\\ & = \operatorname{Tr}\Biggl(\frac{\sqrt{\rho}\sqrt{P_0}\sqrt{\rho}}{ \sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}}\Biggr)\\ & = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \end{aligned}$$

Зауважимо, що це все рівності — ми ще не використовували нашу нерівність (або будь-яку іншу нерівність), тому маємо точний вираз для точності. Тепер можемо використати нашу нерівність, щоб отримати

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr) = \frac{\operatorname{Tr}\bigl(\sqrt{P_0}\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} \geq \frac{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}{\sqrt{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}} = \sqrt{\operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr)}$$

і тому, піднімаючи обидві частини до квадрата,

$$\operatorname{F}\Biggl(\rho,\frac{\sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0}}{\operatorname{Tr}(P_0\rho)}\Biggr)^2 \geq \operatorname{Tr}\bigl(P_0\rho\bigr) > 1-\varepsilon.$$

Теорема Улмана

На завершення уроку розглянемо теорему Улмана — фундаментальний факт про точність, що пов'язує її з поняттям очищення. Теорема стверджує, простими словами, що точність між будь-якими двома квантовими станами дорівнює максимуму скалярного добутку (за модулем) між двома очищеннями цих станів.

Теорема

Теорема Улмана: нехай $\rho$ і $\sigma$ — матриці густини, що описують стани системи $\mathsf{X},$ а $\mathsf{Y}$ — система, яка має принаймні стільки ж класичних станів, скільки й $\mathsf{X}.$ Точність між $\rho$ і $\sigma$ дорівнює

$$\operatorname{F}(\rho,\sigma) = \max\bigl\{ \vert \langle \phi \vert \psi \rangle \vert \,:\, \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\phi\rangle\langle\phi\vert\bigr) = \rho,\; \operatorname{Tr}_{\mathsf{Y}}\bigl(\vert\psi\rangle\langle\psi\vert\bigr) = \sigma\bigr\},$$

де максимум береться по всіх векторах квантових станів $\vert\phi\rangle$ і $\vert\psi\rangle$ системи $(\mathsf{X},\mathsf{Y}).$

Цю теорему можна довести, використовуючи унітарну еквівалентність очищень — але це не є цілком тривіальним, і по дорозі ми скористаємось одним трюком.

Почнемо зі спектральних розкладів двох матриць густини $\rho$ і $\sigma.$

$$\begin{aligned} \rho & = \sum_{a = 0}^{n-1} p_a \vert u_a\rangle\langle u_a\vert \\[2mm] \sigma & = \sum_{b = 0}^{n-1} q_b \vert v_b\rangle\langle v_b\vert \end{aligned}$$

Дві множини $\{\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle\}$ і $\{\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle\}$ — ортонормовані базиси власних векторів $\rho$ і $\sigma$ відповідно, а $p_0,\ldots,p_{n-1}$ і $q_0,\ldots,q_{n-1}$ — відповідні власні значення.

Також визначимо $\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle$ і $\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle$ як вектори, отримані шляхом комплексного спряження кожного елемента векторів $\vert u_0 \rangle,\ldots,\vert u_{n-1}\rangle$ і $\vert v_0 \rangle,\ldots,\vert v_{n-1}\rangle.$ Тобто для довільного вектора $\vert w\rangle$ визначаємо $\vert\overline{w}\rangle$ за допомогою такого рівняння для кожного $c\in\{0,\ldots,n-1\}.$

$$\langle c \vert \overline{w}\rangle = \overline{\langle c \vert w\rangle}$$

Зауважимо, що для будь-яких двох векторів $\vert u\rangle$ і $\vert v\rangle$ маємо $\langle \overline{u} \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert u\rangle.$ Загалом, для будь-якої квадратної матриці $M$ справджується наступна формула.

$$\langle \overline{u} \vert M \vert \overline{v}\rangle = \langle v\vert M^T \vert u\rangle$$

Звідси випливає, що $\vert u\rangle$ і $\vert v\rangle$ ортогональні тоді і тільки тоді, коли $\vert \overline{u}\rangle$ і $\vert \overline{v}\rangle$ ортогональні, і тому $\{\vert \overline{u_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{u_{n-1}}\rangle\}$ і $\{\vert \overline{v_0} \rangle,\ldots,\vert \overline{v_{n-1}}\rangle\}$ — ортонормовані базиси.

Тепер розглянемо такі два вектори $\vert\phi\rangle$ і $\vert\psi\rangle,$ що є очищеннями $\rho$ і $\sigma$ відповідно.

$$\begin{aligned} \vert\phi\rangle & = \sum_{a = 0}^{n-1} \sqrt{p_a}\, \vert u_a\rangle \otimes \vert \overline{u_a}\rangle \\[2mm] \vert\psi\rangle & = \sum_{b = 0}^{n-1} \sqrt{q_b}\, \vert v_b\rangle \otimes \vert \overline{v_b}\rangle \end{aligned}$$

Це і є той трюк, про який згадувалося раніше. На цьому етапі ніщо явно не вказує на те, що доцільно обирати саме такі очищення $\rho$ і $\sigma,$ але вони є дійсними очищеннями, і комплексне спряження дозволить алгебрі спрацювати так, як нам потрібно.

За унітарною еквівалентністю очищень ми знаємо, що кожне очищення $\rho$ для пари систем $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ повинно мати вигляд $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes U)\vert\phi\rangle$ для деякої унітарної матриці $U,$ і аналогічно кожне очищення $\sigma$ для пари $(\mathsf{X},\mathsf{Y})$ повинно мати вигляд $(\mathbb{I}_{\mathsf{X}}\otimes V)\vert\psi\rangle$ для деякої унітарної матриці $V.$ Скалярний добуток двох таких очищень можна спростити таким чином.

$$\begin{aligned} \langle \phi \vert (\mathbb{I}\otimes U^{\dagger}) (\mathbb{I}\otimes V) \vert \psi \rangle \hspace{-2.5cm}\\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle \overline{u_a} \vert U^{\dagger} V \vert \overline{v_b} \rangle \\ & = \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T \vert u_a \rangle \\ & = \operatorname{Tr}\Biggl( \sum_{a,b = 0}^{n-1} \sqrt{p_a} \sqrt{q_b}\, \vert u_a \rangle\langle u_a \vert v_b \rangle \langle v_b \vert (U^{\dagger} V)^T\Biggr)\\ & = \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr) \end{aligned}$$

Оскільки $U$ і $V$ пробігають по всіх можливих унітарних матрицях, матриця $(U^{\dagger} V)^T$ також пробігає по всіх можливих унітарних матрицях. Таким чином, максимізація модуля скалярного добутку двох очищень $\rho$ і $\sigma$ дає таке рівняння.

$$\begin{aligned} \max_{U,V\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, (U^{\dagger} V)^T\Bigr)\biggr\vert & = \max_{W\:\text{unitary}} \biggl\vert \operatorname{Tr}\Bigl( \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma}\, W\Bigr)\biggr\vert\\[2mm] & = \bigl\| \sqrt{\rho}\sqrt{\sigma} \bigr\|_1\\[2mm] & = \operatorname{F}(\rho,\sigma) \end{aligned}$$

Опитування після курсу

Вітаємо з завершенням курсу! Будь ласка, знайди хвилинку, щоб допомогти нам покращити його, заповнивши це коротке опитування. Твій відгук допоможе нам вдосконалити зміст і досвід користувачів. Дякуємо!