Основи квантових каналів

З математичної точки зору, канали — це лінійні відображення з матриць густини в матриці густини, що задовольняють певним вимогам. Упродовж цього уроку ми використовуватимемо великі грецькі літери, зокрема $\Phi$ і $\Psi,$ а також деякі інші літери в конкретних випадках, для позначення каналів.

Кожний канал $\Phi$ має вхідну систему та вихідну систему; зазвичай ми використовуємо назву $\mathsf{X}$ для позначення вхідної системи та $\mathsf{Y}$ — для вихідної. Часто трапляється, що вихідна система каналу збігається з вхідною, і тоді ми можемо використовувати ту саму літеру $\mathsf{X}$ для позначення обох.

Канали є лінійними відображеннями

Канали описуються лінійними відображеннями, так само як імовірнісні операції у стандартній формалізації класичної інформації та унітарні операції у спрощеній формалізації квантової інформації.

Якщо канал $\Phi$ застосовується до вхідної системи $\mathsf{X},$ стан якої описується матрицею густини $\rho,$ то вихідна система каналу описується матрицею густини $\Phi(\rho).$ У ситуації, коли вихідна система $\Phi$ також є $\mathsf{X},$ ми можемо просто розглядати канал як зміну стану $\mathsf{X}$ з $\rho$ на $\Phi(\rho).$ Коли вихідна система $\Phi$ — це інша система, $\mathsf{Y},$ а не $\mathsf{X},$ слід розуміти, що $\mathsf{Y}$ — нова система, яка створюється в процесі застосування каналу, і що вхідна система, $\mathsf{X},$ більше недоступна після застосування каналу — ніби канал перетворив $\mathsf{X}$ на $\mathsf{Y},$ залишивши її у стані $\Phi(\rho).$

Припущення про те, що канали описуються лінійними відображеннями, можна розглядати як аксіому — тобто базовий постулат теорії, а не щось, що доводиться. Проте ми можемо бачити необхідність того, щоб канали діяли лінійно на опуклих комбінаціях вхідних матриць густини, щоб бути узгодженими з теорією ймовірностей і тим, що ми вже знаємо про матриці густини.

Точніше, припустимо, що маємо канал $\Phi$ і застосовуємо його до системи, коли вона перебуває в одному з двох станів, представлених матрицями густини $\rho$ і $\sigma.$ Якщо застосовуємо канал до $\rho,$ отримуємо матрицю густини $\Phi(\rho),$ а якщо до $\sigma$ — матрицю густини $\Phi(\sigma).$ Отже, якщо ми випадково обираємо вхідний стан $\mathsf{X}$ рівним $\rho$ з імовірністю $p$ і $\sigma$ з імовірністю $1-p,$ то отримаємо вихідний стан $\Phi(\rho)$ з імовірністю $p$ і $\Phi(\sigma)$ з імовірністю $1-p,$ що ми представляємо зваженим середнім матриць густини $p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$

З іншого боку, можна думати про вхідний стан каналу як представлений зваженим середнім $p\rho + (1-p)\sigma,$ і тоді вихід — $\Phi(p\rho + (1-p)\sigma).$ Це той самий стан незалежно від того, як ми вирішимо думати про це, тому повинно виконуватись

$$\Phi(p\rho + (1-p)\sigma) = p\Phi(\rho) + (1-p)\Phi(\sigma).$$

Щоразу, коли маємо відображення, що задовольняє цю умову для будь-якого вибору матриць густини $\rho$ і $\sigma$ та скалярів $p\in [0,1],$ завжди існує єдиний спосіб розширити це відображення на будь-який матричний вхід (тобто не лише на вхід у вигляді матриці густини), щоб воно було лінійним.

Канали перетворюють матриці густини на матриці густини

Звичайно, крім того що бути лінійними відображеннями, канали повинні також перетворювати матриці густини на матриці густини. Якщо канал $\Phi$ застосовується до вхідної системи, коли ця система перебуває у стані, представленому матрицею густини $\rho,$ то ми отримуємо систему, стан якої представлений $\Phi(\rho),$ що повинно бути дійсною матрицею густини, щоб ми могли інтерпретувати її як стан.

Проте критично важливо розглянути більш загальну ситуацію, де канал $\Phi$ перетворює систему $\mathsf{X}$ на систему $\mathsf{Y}$ у присутності додаткової системи $\mathsf{Z},$ з якою нічого не відбувається. Тобто якщо починаємо з парою систем $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ у стані, описаному деякою матрицею густини, і потім застосовуємо $\Phi$ лише до $\mathsf{X},$ перетворюючи її на $\mathsf{Y},$ ми повинні отримати матрицю густини, що описує стан пари $(\mathsf{Z},\mathsf{Y}).$

Можна математично описати, як канал $\Phi$ з вхідною системою $\mathsf{X}$ і вихідною системою $\mathsf{Y}$ перетворює стан пари $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ на стан $(\mathsf{Z},\mathsf{Y}),$ коли з $\mathsf{Z}$ нічого не робиться. Для простоти припустимо, що множина класичних станів $\mathsf{Z}$ — це $\{0,\ldots,m-1\}.$ Це дозволяє записати довільну матрицю густини $\rho,$ що представляє стан $(\mathsf{Z},\mathsf{X}),$ у такому вигляді.

$$\rho = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \rho_{a,b} = \begin{pmatrix} \rho_{0,0} & \rho_{0,1} & \cdots & \rho_{0,m-1} \\[1mm] \rho_{1,0} & \rho_{1,1} & \cdots & \rho_{1,m-1} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \rho_{m-1,0} & \rho_{m-1,1} & \cdots & \rho_{m-1,m-1} \end{pmatrix}$$

У правій частині цього рівняння маємо блокову матрицю, яку можна розглядати як матрицю матриць, але без внутрішніх дужок. Це дає нам звичайну матрицю, яку можна описати за допомогою нотації Дірака, як у середньому виразі. Кожна матриця $\rho_{a,b}$ має рядки та стовпці, що відповідають класичним станам $\mathsf{X},$ і ці матриці можуть бути визначені простою формулою.

$$\rho_{a,b} = \bigl(\langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr) \rho \bigl(\vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \bigr)$$

Зауважимо, що загалом це не матриці густини — лише коли вони зібрані разом для формування $\rho,$ ми отримуємо матрицю густини.

Таке рівняння описує стан $(\mathsf{Z},\mathsf{Y}),$ що отримується при застосуванні $\Phi$ до $\mathsf{X}.$

$$\sum_{a,b = 0}^{m-1} \vert a\rangle\langle b\vert \otimes \Phi(\rho_{a,b}) = \begin{pmatrix} \Phi(\rho_{0,0}) & \Phi(\rho_{0,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{0,m-1}) \\[1mm] \Phi(\rho_{1,0}) & \Phi(\rho_{1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{1,m-1}) \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \Phi(\rho_{m-1,0}) & \Phi(\rho_{m-1,1}) & \cdots & \Phi(\rho_{m-1,m-1}) \end{pmatrix}$$

Зауважимо, що для обчислення цього виразу для заданих $\Phi$ і $\rho$ необхідно розуміти, як $\Phi$ працює як лінійне відображення на входах, які не є матрицями густини, оскільки кожна $\rho_{a,b}$ загалом не буде матрицею густини сама по собі. Це рівняння узгоджується з виразом $(\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}} \otimes \,\Phi)(\rho),$ де $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}$ позначає тотожний канал на системі $\mathsf{Z}.$ Це передбачає, що ми розширили поняття тензорного добутку на лінійні відображення з матриць у матриці, що є природним — але це не є необхідним для цілей уроку і не буде пояснюватися далі.

Повторюючи вищесказане, щоб лінійне відображення $\Phi$ було дійсним каналом, необхідно, щоб для будь-якого вибору $\mathsf{Z}$ і будь-якої матриці густини $\rho$ пари $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ ми завжди отримували матрицю густини при застосуванні $\Phi$ до $\mathsf{X}.$ Математично, властивості, якими повинне володіти відображення, щоб бути каналом, — це збереження сліду (щоб матриця, отримана застосуванням каналу, мала слід, що дорівнює одиниці) і повна позитивність (щоб отримана матриця була додатньо напіввизначеною). Обидві ці властивості є важливими і можуть розглядатися та вивчатися окремо, але для цілей уроку не є критичним розглядати їх ізольовано.

Насправді існують лінійні відображення, що завжди виводять матрицю густини при матриці густини на вході, але не відображають матриці густини в матриці густини для складених систем, тому ми дійсно виключаємо деякі лінійні відображення з класу каналів у такий спосіб. (Лінійне відображення, задане транспонуванням матриці, є найпростішим прикладом.)

Маємо формулу, аналогічну наведеній вище, у випадку коли дві системи $\mathsf{X}$ і $\mathsf{Z}$ поміняні місцями, так що $\Phi$ застосовується до системи зліва, а не справа.

$$\bigl(\Phi\otimes\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}}\bigr)(\rho) = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \Phi(\rho_{a,b}) \otimes \vert a\rangle\langle b\vert$$

Це припускає, що $\rho$ є станом $(\mathsf{X},\mathsf{Z}),$ а не $(\mathsf{Z},\mathsf{X}).$ Цього разу опис у вигляді блокової матриці не спрацьовує, оскільки матриці $\rho_{a,b}$ не розташовані в послідовних рядках і стовпцях $\rho,$ але математична структура та сама.

Будь-яке лінійне відображення, що задовольняє вимогу завжди перетворювати матриці густини на матриці густини, навіть коли воно застосовується лише до однієї частини складеної системи, представляє дійсний канал. Отже, в абстрактному сенсі поняття каналу визначається поняттям матриці густини разом із припущенням, що канали діють лінійно. У цьому відношенні канали аналогічні унітарним операціям у спрощеній формалізації квантової інформації, що є саме лінійними відображеннями, які завжди перетворюють вектори квантових станів на вектори квантових станів для заданої системи; а також імовірнісним операціям (представленим стохастичними матрицями) у стандартній формалізації класичної інформації, що є саме лінійними відображеннями, які завжди перетворюють вектори ймовірностей на вектори ймовірностей.

Унітарні операції як канали

Припустимо, $\mathsf{X}$ — система, а $U$ — унітарна матриця, що представляє операцію над $\mathsf{X}.$ Канал $\Phi,$ що описує цю операцію над матрицями густини, визначається таким чином для кожної матриці густини $\rho,$ що представляє квантовий стан $\mathsf{X}.$

$$\Phi(\rho) = U \rho U^{\dagger} \tag{1}$$

Ця дія — множення на $U$ зліва і на $U^{\dagger}$ справа — зазвичай називається спряженням матрицею $U.$

Такий опис узгоджується з тим фактом, що матриця густини, що представляє заданий вектор квантового стану $\vert\psi\rangle,$ дорівнює $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ Зокрема, якщо унітарна операція $U$ виконується над $\vert\psi\rangle,$ то вихідний стан представлений вектором $U\vert\psi\rangle,$ тому матриця густини, що описує цей стан, дорівнює

$$(U \vert \psi \rangle )( U \vert \psi \rangle )^{\dagger} = U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}.$$

Знаючи, що як канал операція $U$ має дію $\vert\psi\rangle\langle \psi\vert \mapsto U \vert\psi\rangle\langle\psi\vert U^{\dagger}$ на чисті стани, можна зробити висновок з лінійності, що вона повинна працювати так, як задано рівнянням $(1)$ вище для будь-якої матриці густини $\rho.$

Конкретний канал, що отримується при $U = \mathbb{I},$ — це тотожний канал$\;\operatorname{Id},$ якому можна також додати підписку (наприклад, $\operatorname{Id}_{\mathsf{Z}},$ як ми вже зустрічали), коли хочемо явно вказати, на яку систему цей канал діє. Його вихід завжди дорівнює його входу: $\operatorname{Id}(\rho) = \rho.$ Це може не здаватися цікавим каналом, але насправді він є дуже важливим — і символічно, що це наш перший приклад. Тотожний канал є ідеальним каналом в деяких контекстах, представляючи ідеальну пам'ять або ідеальну, без шумів, передачу інформації від відправника до отримувача.

Кожен канал, визначений унітарною операцією таким чином, є дійсним каналом: спряження матрицею $U$ дає нам лінійне відображення; і якщо $\rho$ — матриця густини системи $(\mathsf{Z},\mathsf{X})$ і $U$ є унітарною, то результат, який можна виразити як

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$$

також є матрицею густини. Конкретно, ця матриця повинна бути додатньо напіввизначеною, оскільки якщо $\rho = M^{\dagger} M,$ то

$$(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}) = K^{\dagger} K$$

для $K = M (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger}),$ і вона повинна мати одиничний слід завдяки циклічній властивості сліду.

$$\operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho (\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U^{\dagger})(\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes U) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}\bigl((\mathbb{I}_{\mathsf{Z}} \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{X}}) \rho \bigr) = \operatorname{Tr}(\rho) = 1$$

Опуклі комбінації каналів

Припустимо, маємо два канали, $\Phi_0$ і $\Phi_1,$ що мають однакову вхідну систему та однакову вихідну систему. Для будь-якого дійсного числа $p\in[0,1]$ можемо вирішити застосовувати $\Phi_0$ з імовірністю $p$ і $\Phi_1$ з імовірністю $1-p,$ що дає нам новий канал, який можна записати як $p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1.$ Явно, дія цього каналу на задану матрицю густини задається таким простим рівнянням.

$$(p \Phi_0 + (1-p) \Phi_1)(\rho) = p \Phi_0(\rho) + (1-p) \Phi_1(\rho)$$

Загалом, якщо маємо канали $\Phi_{0},\ldots,\Phi_{m-1}$ і вектор ймовірностей $(p_0,\ldots, p_{m-1}),$ то можемо усереднити ці канали для отримання нового каналу.

$$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \Phi_k$$

Це опукла комбінація каналів, і ми завжди отримуємо дійсний канал через цей процес. Простий спосіб виразити це математично — сказати, що для заданого вибору вхідної та вихідної системи множина всіх каналів є опуклою множиною.

Як приклад, можна вирішити застосовувати одну з колекції унітарних операцій до певної системи. Отримуємо так званий змішаний унітарний канал — канал, який можна виразити у такому вигляді.

$$\Phi(\rho) = \sum_{k=0}^{m-1} p_k U_k \rho U_k^{\dagger}$$

Змішані унітарні канали, у яких усі унітарні операції є матрицями Паулі (або тензорними добутками матриць Паулі), називаються каналами Паулі і часто зустрічаються у квантових обчисленнях.

Приклади каналів кубіта

Тепер розглянемо кілька конкретних прикладів каналів, що не є унітарними. У всіх цих прикладах вхідна і вихідна системи — це обидва одинарні кубіти, тобто це приклади каналів кубіта.

Канал скидання кубіта

Цей канал робить дуже просте: він скидає кубіт до стану $\vert 0\rangle.$ Як лінійне відображення цей канал можна виразити таким чином для будь-якої матриці густини кубіта $\rho.$

$$\Lambda(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \vert 0\rangle\langle 0\vert$$

Хоча слід кожної матриці густини $\rho$ дорівнює $1,$ запис каналу в такому вигляді дає зрозуміти, що це лінійне відображення, яке можна застосувати до будь-якої матриці $2\times 2,$ а не лише до матриці густини. Як ми вже зазначали, необхідно розуміти, як канали працюють як лінійні відображення на входах, що не є матрицями густини, щоб описати, що відбувається, коли вони застосовуються лише до однієї частини складеної системи.

Наприклад, припустимо, що $\mathsf{A}$ і $\mathsf{B}$ — кубіти, і разом пара $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ перебуває в стані Белла $\vert \phi^+\rangle.$ Як матриця густини цей стан дорівнює

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[1mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

За допомогою нотації Дірака цей стан можна альтернативно виразити таким чином.

$$\vert \phi^+\rangle\langle \phi^+ \vert = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert$$

Застосовуючи канал скидання кубіта до $\mathsf{A}$ і не роблячи нічого з $\mathsf{B},$ отримуємо такий стан.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 0 \rangle \langle 1 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \Lambda(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \vert 0\rangle \langle 0\vert \otimes \frac{\mathbb{I}}{2} & \end{aligned}$$

Може виникнути спокуса сказати, що скидання $\mathsf{A}$ вплинуло на $\mathsf{B},$ зробивши його повністю змішаним — але в певному сенсі насправді все навпаки. До скидання $\mathsf{A}$ редукований стан $\mathsf{B}$ вже був повністю змішаним, і скидання $\mathsf{A}$ це не змінює.

Канал повного дефазування

Ось приклад каналу кубіта $\Delta,$ описаного його дією на матриці $2\times 2$:

$$\Delta \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & 0\\[1mm] 0 & \alpha_{11} \end{pmatrix}.$$

Простими словами, $\Delta$ обнулює позадіагональні елементи матриці $2\times 2.$ Цей приклад можна узагальнити на довільні системи, а не лише на кубіти: для будь-якої вхідної матриці густини канал обнулює всі позадіагональні елементи і залишає діагональ незміненою.

Цей канал називається каналом повного дефазування, і його можна розглядати як таку, що представляє крайню форму процесу відомого як декогеренція — яка по суті руйнує квантові суперпозиції і перетворює їх на класичні імовірнісні стани.

Ще один спосіб думати про цей канал — він описує вимірювання у стандартному базисі кубіта, де вхідний кубіт вимірюється і відкидається, а виходом є матриця густини, що описує результат вимірювання. Альтернативно, але еквівалентно, можна уявити, що результат вимірювання відкидається, залишаючи кубіт у стані після вимірювання.

Знову розглянемо e-біт і подивимось, що відбувається, коли $\Delta$ застосовується лише до одного з двох кубітів. Конкретно, маємо кубіти $\mathsf{A}$ і $\mathsf{B},$ для яких $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ перебуває у стані $\vert\phi^+\rangle,$ і цього разу застосуємо канал до другого кубіта. Ось стан, який ми отримуємо.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 0 \rangle \langle 1 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 0 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 0 \vert) + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \Delta(\vert 1 \rangle \langle 1 \vert) \qquad & \\[1mm] = \frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert & \end{aligned}$$

Альтернативно можна виразити це рівняння за допомогою блокових матриць.

$$\begin{pmatrix} \Delta\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & \frac{1}{2}\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] \frac{1}{2} & 0 \end{pmatrix} & \Delta\begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Можна також розглянути канал кубіта, що лише злегка дефазує кубіт, на відміну від повного дефазування, що є менш крайньою формою декогеренції, ніж та, що представлена каналом повного дефазування. Зокрема, припустимо, що $\varepsilon \in (0,1)$ — мале, але ненульове дійсне число. Можна визначити канал

$$\Delta_{\varepsilon} = (1 - \varepsilon) \operatorname{Id} + \varepsilon \Delta,$$

який перетворює задану матрицю густини кубіта $\rho$ таким чином:

$$\Delta_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Delta(\rho).$$

Тобто нічого не відбувається з імовірністю $1-\varepsilon,$ а з імовірністю $\varepsilon$ кубіт дефазується. З точки зору матриць цю дію можна виразити таким чином: діагональні елементи залишаються незміненими, а позадіагональні множаться на $1-\varepsilon.$

$$\rho = \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} \langle 0\vert \rho \vert 0 \rangle & (1-\varepsilon) \langle 0\vert \rho \vert 1 \rangle \\[1mm] (1-\varepsilon) \langle 1\vert \rho \vert 0 \rangle & \langle 1\vert \rho \vert 1 \rangle \end{pmatrix}$$

Канал повної деполяризації

Ось ще один приклад каналу кубіта $\Omega.$

$$\Omega(\rho) = \operatorname{Tr}(\rho) \frac{\mathbb{I}}{2}$$

Тут $\mathbb{I}$ позначає тотожну матрицю $2\times 2.$ Простими словами, для будь-якої вхідної матриці густини $\rho$ канал $\Omega$ виводить повністю змішаний стан. Більш шумним бути не може! Цей канал називається каналом повної деполяризації, і, як і канал повного дефазування, може бути узагальнений на довільні системи замість кубітів.

Можна також розглянути менш крайній варіант цього каналу, де деполяризація відбувається з імовірністю $\varepsilon,$ аналогічно до того, що ми бачили для каналу дефазування.

$$\Omega_{\varepsilon}(\rho) = (1 - \varepsilon) \rho + \varepsilon \Omega(\rho).$$