Перейти до основного вмісту

Варіаційні алгоритми

Перш ніж розпочати, будь ласка, пройди це коротке опитування перед курсом, яке є важливим для покращення нашого контенту та досвіду користувачів.

Цей курс охоплює специфіку варіаційних алгоритмів і короткострокових гібридних квантово-класичних алгоритмів, заснованих на варіаційній теоремі квантової механіки. Ці алгоритми можуть використовувати можливості сучасних квантових комп'ютерів без виправлення помилок, що робить їх ідеальними кандидатами для досягнення квантової переваги.

Упродовж цього курсу ми досліджуватимемо:

  • Кожен крок у робочому процесі проектування варіаційного алгоритму
  • Компроміси, пов'язані з кожним кроком
  • Як використовувати примітиви Qiskit Runtime для оптимізації за швидкістю та точністю

Хоча цей курс призначений як відправна точка для дослідників і розробників, що вивчають можливості квантових комп'ютерів, не соромся досліджувати теоретичні та фундаментальні знання про квантові обчислення загалом у курсі Основи квантової інформації та обчислень (також доступному як серія відео на YouTube).

Спрощений гібридний робочий процес​

Потік варіаційного алгоритму з кроками: ініціалізація задачі, підготовка анзацу, обчислення функції вартості, оптимізація параметрів. Варіаційні алгоритми включають кілька модульних компонентів, які можна комбінувати та оптимізувати відповідно до досягнень алгоритмів, програмного та апаратного забезпечення. Серед них — функція вартості, що описує конкретну задачу з набором параметрів; анзац, що виражає простір пошуку з цими параметрами; та оптимізатор, що ітеративно досліджує простір пошуку. На кожній ітерації оптимізатор обчислює функцію вартості з поточними параметрами і вибирає параметри наступної ітерації, доки не збіжиться до оптимального розв'язку. Гібридна природа цього класу алгоритмів полягає в тому, що функції вартості обчислюються з використанням квантових ресурсів і оптимізуються за допомогою класичних.

  1. Ініціалізація задачі: Варіаційні алгоритми починають з ініціалізації квантового комп'ютера у стандартному стані ∣0⟩|0\rangle, після чого він перетворюється на бажаний (непараметризований) стан ∣ρ⟩|\rho\rangle, який ми назвемо референтним станом.

    Це перетворення представлено застосуванням унітарного референтного оператора URU_R до стандартного стану: UR∣0⟩=∣ρ⟩U_R|0\rangle = |\rho\rangle.

  2. Підготовка анзацу: Щоб розпочати ітеративну оптимізацію від стандартного стану ∣0⟩|0\rangle до цільового стану ∣ψ(θ⃗)⟩|\psi(\vec\theta)\rangle, необхідно визначити варіаційну форму UV(θ⃗)U_V(\vec\theta), що представляє набір параметризованих станів для дослідження варіаційним алгоритмом.

    Будь-яку конкретну комбінацію референтного стану та варіаційної форми ми називаємо анзацом: UA(θ⃗):=UV(θ⃗)URU_A(\vec\theta) := U_V(\vec\theta) U_R. Анзаци зрештою набудуть форми параметризованих квантових схем, здатних перевести стандартний стан ∣0⟩|0\rangle у цільовий стан ∣ψ(θ⃗)⟩|\psi(\vec\theta)\rangle.

    Загалом матимемо:

    ∣0⟩→URUR∣0⟩=∣ρ⟩→UV(θ⃗)UA(θ⃗)∣0⟩=UV(θ⃗)UR∣0⟩=UV(θ⃗)∣ρ⟩=∣ψ(θ⃗)⟩\begin{aligned} |0\rangle \xrightarrow{U_R} U_R|0\rangle & = |\rho\rangle \xrightarrow{U_V(\vec{\theta})} U_A(\vec{\theta})|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})U_R|0\rangle \\[1mm] & = U_V(\vec{\theta})|\rho\rangle \\[1mm] & = |\psi(\vec{\theta})\rangle \\[1mm] \end{aligned}

  3. Обчислення функції вартості: Задачу можна закодувати у функцію вартості C(θ⃗)C(\vec\theta) як лінійну комбінацію операторів Паулі, що запускається на квантовій системі. Хоча це може бути інформація про фізичну систему — наприклад, енергія або спін — можна також кодувати нефізичні задачі. Для боротьби з шумом при обчисленні функції вартості можна використовувати примітиви Qiskit Runtime з придушенням і пом'якшенням помилок.

  4. Оптимізація параметрів: Обчислення передаються на класичний комп'ютер, де класичний оптимізатор аналізує їх і вибирає наступний набір значень варіаційних параметрів. Якщо є вже відомий оптимальний розв'язок, його можна задати як початкову точку θ⃗0\vec\theta_0 для бутстрапінгу оптимізації. Використання цього початкового стану ∣ψ(θ⃗0)⟩|\psi(\vec\theta_0)\rangle може допомогти оптимізатору швидше знайти допустимий розв'язок.

  5. Коригування параметрів анзацу за результатами та повторний запуск: Весь процес повторюється, доки критерії завершення класичного оптимізатора не будуть виконані, і повертається оптимальний набір значень параметрів θ⃗∗\vec\theta^*. Запропонований розв'язок задачі матиме вигляд ∣ψ(θ⃗∗)⟩=UA(θ⃗∗)∣0⟩|\psi(\vec\theta^*)\rangle = U_A(\vec\theta^*)|0\rangle.

Варіаційна теорема​

Поширена мета варіаційних алгоритмів — знайти квантовий стан з найменшим або найбільшим власним значенням певного спостережуваного. Ключова ідея, яку ми використаємо, — це варіаційна теорема квантової механіки. Перш ніж сформулювати її повністю, дослідимо математичну інтуїцію, що лежить в її основі.

Математична інтуїція для енергії та основних станів​

У квантовій механіці енергія виражається у вигляді квантового спостережуваного, що зазвичай називається гамільтоніаном і позначається H^\hat{\mathcal{H}}. Розглянемо його спектральний розклад:

H^=∑k=0N−1λk∣ϕk⟩⟨ϕk∣\hat{\mathcal{H}} = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|

де NN — розмірність простору станів, λk\lambda_{k} — kk-те власне значення або, фізично, kk-й рівень енергії, а ∣ϕk⟩|\phi_k\rangle — відповідний власний стан: H^∣ϕk⟩=λk∣ϕk⟩\hat{\mathcal{H}}|\phi_k\rangle = \lambda_k |\phi_k\rangle. Очікувана енергія системи в (нормованому) стані ∣ψ⟩|\psi\rangle дорівнюватиме:

⟨ψ∣H^∣ψ⟩=⟨ψ∣(∑k=0N−1λk∣ϕk⟩⟨ϕk∣)∣ψ⟩=∑k=0N−1λk⟨ψ∣ϕk⟩⟨ϕk∣ψ⟩=∑k=0N−1λk∣⟨ψ∣ϕk⟩∣2\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \langle \psi |\bigg(\sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\phi_k\rangle \langle \phi_k|\bigg) | \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k \langle \psi |\phi_k\rangle \langle \phi_k| \psi \rangle \\[1mm] & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] \end{aligned}

Враховуючи, що λ0≤λk,∀k\lambda_0\leq \lambda_k, \forall k, маємо:

⟨ψ∣H^∣ψ⟩=∑k=0N−1λk∣⟨ψ∣ϕk⟩∣2≥∑k=0N−1λ0∣⟨ψ∣ϕk⟩∣2=λ0∑k=0N−1∣⟨ψ∣ϕk⟩∣2=λ0\begin{aligned} \langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle & = \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_k |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & \geq \sum_{k=0}^{N-1} \lambda_0 |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 \\[1mm] & = \lambda_0 \\[1mm] \end{aligned}

Оскільки {∣ϕk⟩}k=0N−1\{|\phi_k\rangle \}_{k=0}^{N-1} є ортонормованим базисом, ймовірність виміряти ∣ϕk⟩|\phi_{k} \rangle дорівнює pk=∣⟨ψ∣ϕk⟩∣2p_k = |\langle \psi |\phi_{k} \rangle |^2, і сума всіх ймовірностей задовольняє ∑k=0N−1∣⟨ψ∣ϕk⟩∣2=∑k=0N−1pk=1\sum_{k=0}^{N-1} |\langle \psi |\phi_k\rangle|^2 = \sum_{k=0}^{N-1}p_k = 1. Коротко кажучи, очікувана енергія будь-якої системи не менша за найнижчу енергію, або енергію основного стану:

⟨ψ∣H^∣ψ⟩≥λ0.\langle \psi | \hat{\mathcal{H}} | \psi \rangle \geq \lambda_0.

Наведений аргумент застосовується до будь-якого допустимого (нормованого) квантового стану ∣ψ⟩|\psi\rangle, тому цілком можливо розглядати параметризовані стани ∣ψ(θ⃗)⟩|\psi(\vec\theta)\rangle, що залежать від вектора параметрів θ⃗\vec\theta. Саме тут і з'являється слово «варіаційний». Якщо ми задамо функцію вартості C(θ⃗):=⟨ψ(θ⃗)∣H^∣ψ(θ⃗)⟩C(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle і захочемо мінімізувати її, мінімум завжди задовольнятиме:

min⁡θ⃗C(θ⃗)=min⁡θ⃗⟨ψ(θ⃗)∣H^∣ψ(θ⃗)⟩≥λ0.\min_{\vec\theta} C(\vec\theta) = \min_{\vec\theta} \langle \psi(\vec\theta)|\hat{\mathcal{H}}|\psi(\vec\theta)\rangle \geq \lambda_0.

Мінімальне значення C(θ⃗)C(\vec\theta) буде найближчим наближенням до λ0\lambda_0 серед параметризованих станів ∣ψ(θ⃗)⟩|\psi(\vec\theta)\rangle, і рівність досягається лише тоді, коли існує вектор параметрів θ⃗∗\vec\theta^* такий, що ∣ψ(θ⃗∗)⟩=∣ϕ0⟩.|\psi(\vec\theta^*)\rangle = |\phi_0\rangle.

Варіаційна теорема квантової механіки​

Якщо (нормований) стан ∣ψ⟩|\psi\rangle квантової системи залежить від вектора параметрів θ⃗\vec\theta, то оптимальне наближення основного стану (тобто власного стану ∣ϕ0⟩|\phi_0\rangle з мінімальним власним значенням λ0\lambda_0) — це те, що мінімізує математичне сподівання гамільтоніана H^\hat{\mathcal{H}}:

⟨H^⟩(θ⃗):=⟨ψ(θ⃗)∣H^∣ψ(θ⃗)⟩≥λ0\langle \hat{\mathcal{H}} \rangle(\vec\theta) := \langle \psi(\vec\theta) |\hat{\mathcal{H}}| \psi(\vec\theta) \rangle \geq \lambda_0

Причина, чому варіаційна теорема формулюється в термінах мінімумів енергії, полягає в тому, що вона включає низку математичних припущень:

  • З фізичних міркувань необхідно існування скінченної нижньої межі для енергії E≥λ0>−∞E \geq \lambda_0 > -\infty, навіть при N→∞N\rightarrow\infty.
  • Верхні межі в загальному випадку не існують.

Проте, з математичної точки зору, гамільтоніан H^\hat{\mathcal{H}} не є нічим особливим поза цими припущеннями, тому теорему можна узагальнити на інші квантові спостережувані та їхні власні стани за умови виконання тих самих обмежень. Також зауваж, що якщо існують скінченні верхні межі, ті самі математичні аргументи можна застосувати для максимізації власних значень, змінивши нижні межі на верхні.

Підсумок​

З цього уроку ти дізнався загальне уявлення про варіаційні алгоритми. У наступних уроках ми детальніше розглянемо кожен крок та пов'язані з ним компроміси.