Нерівність CHSH

Оцінка використання: Дві хвилини на процесорі Heron r2 (ПРИМІТКА: Це лише оцінка. Твій час виконання може відрізнятися.)

Загальна інформація

У цьому посібнику ти виконаєш експеримент на квантовому комп'ютері, щоб продемонструвати порушення нерівності CHSH за допомогою примітиву Estimator.

Нерівність CHSH, названа на честь авторів Клаузера, Хорна, Шимоні та Холта, використовується для експериментального доведення теореми Белла (1969). Ця теорема стверджує, що теорії локальних прихованих змінних не можуть пояснити деякі наслідки заплутаності в квантовій механіці. Порушення нерівності CHSH використовується для демонстрації того, що квантова механіка несумісна з теоріями локальних прихованих змінних. Це важливий експеримент для розуміння основ квантової механіки.

Нобелівську премію з фізики 2022 року було присуджено Алену Аспе, Джону Клаузеру та Антону Цайлінгеру частково за їхню піонерську роботу в квантовій інформатиці, зокрема за експерименти з заплутаними фотонами, що демонструють порушення нерівностей Белла.

Вимоги

Перед початком цього посібника переконайся, що у тебе встановлено наступне:

• Qiskit SDK v1.0 або новіший, з підтримкою візуалізації
• Qiskit Runtime (pip install qiskit-ibm-runtime) v0.22 або новіший

Налаштування

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit qiskit-ibm-runtime

# General
import numpy as np

# Qiskit imports
from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit import Parameter
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

# Qiskit Runtime imports
from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import EstimatorV2 as Estimator

# Plotting routines
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.ticker as tck

Крок 1: Відображення класичних входів на квантову задачу

Для цього експерименту ми створимо заплутану пару, де будемо вимірювати кожен кубіт у двох різних базисах. Ми позначимо базиси для першого кубіта $A$ і $a$, а базиси для другого кубіта $B$ і $b$. Це дозволяє нам обчислити величину CHSH $S_1$:

$$S_1 = A(B-b) + a(B+b).$$

Кожна спостережувана величина дорівнює або $+1$, або $-1$. Очевидно, один з членів $B\pm b$ повинен дорівнювати $0$, а інший має бути $\pm 2$. Отже, $S_1 = \pm 2$. Середнє значення $S_1$ має задовольняти нерівність:

$$|\langle S_1 \rangle|\leq 2.$$

Розкладання $S_1$ через $A$, $a$, $B$ і $b$ дає:

$$|\langle S_1 \rangle| = |\langle AB \rangle - \langle Ab \rangle + \langle aB \rangle + \langle ab \rangle| \leq 2$$

Ти можеш визначити іншу величину CHSH $S_2$:

$$S_2 = A(B+b) - a(B-b),$$

Це призводить до іншої нерівності:

$$|\langle S_2 \rangle| = |\langle AB \rangle + \langle Ab \rangle - \langle aB \rangle + \langle ab \rangle| \leq 2$$

Якщо квантову механіку можна описати теоріями локальних прихованих змінних, попередні нерівності мають виконуватися. Однак, як демонструється в цьому посібнику, ці нерівності можуть бути порушені на квантовому комп'ютері. Отже, квантова механіка несумісна з теоріями локальних прихованих змінних. Якщо ти хочеш дізнатися більше теорії, вивчи Заплутаність в дії з Джоном Ватрусом. Ти створиш заплутану пару між двома кубітами в квантовому комп'ютері, створивши стан Белла $|\Phi^+\rangle = \frac{|00\rangle + |11\rangle}{\sqrt{2}}$. Використовуючи примітив Estimator, ти можеш безпосередньо отримати необхідні очікувані значення ($\langle AB \rangle, \langle Ab \rangle, \langle aB \rangle$ і $\langle ab \rangle$) для обчислення очікуваних значень двох величин CHSH $\langle S_1\rangle$ і $\langle S_2\rangle$. До введення примітиву Estimator тобі довелося б конструювати очікувані значення з результатів вимірювань.

Ти будеш вимірювати другий кубіт у базисах $Z$ і $X$. Перший кубіт також буде вимірюватися в ортогональних базисах, але під кутом відносно другого кубіта, який ми будемо змінювати від $0$ до $2\pi$. Як ти побачиш, примітив Estimator значно спрощує виконання параметризованих схем. Замість створення серії схем CHSH, тобі потрібно створити лише одну схему CHSH з параметром, що визначає кут вимірювання, та серію значень фази для параметра.

Нарешті, ти проаналізуєш результати та побудуєш їх графік відносно кута вимірювання. Ти побачиш, що для певного діапазону кутів вимірювання очікувані значення величин CHSH $|\langle S_1\rangle| > 2$ або $|\langle S_2\rangle| > 2$, що демонструє порушення нерівності CHSH.

# To run on hardware, select the backend with the fewest number of jobs in the queue
service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=127
)
backend.name

'ibm_kingston'

Створення параметризованої схеми CHSH

Спочатку ми напишемо схему з параметром $\theta$, який ми назвемо theta. Примітив Estimator може значно спростити побудову схеми та аналіз виводу, безпосередньо надаючи очікувані значення спостережуваних величин. Багато цікавих задач, особливо для застосувань найближчого майбутнього на зашумлених системах, можна сформулювати в термінах очікуваних значень. Примітив Estimator (V2) може автоматично змінювати базис вимірювання на основі наданої спостережуваної величини.

theta = Parameter("$\\theta$")

chsh_circuit = QuantumCircuit(2)
chsh_circuit.h(0)
chsh_circuit.cx(0, 1)
chsh_circuit.ry(theta, 0)
chsh_circuit.draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

Створення списку значень фази для подальшого призначення

Після створення параметризованої схеми CHSH ти створиш список значень фази, які будуть призначені схемі на наступному кроці. Ти можеш використовувати наступний код для створення списку з 21 значення фази в діапазоні від $0$ до $2 \pi$ з рівномірним інтервалом, тобто $0$, $0.1 \pi$, $0.2 \pi$, ..., $1.9 \pi$, $2 \pi$.

number_of_phases = 21
phases = np.linspace(0, 2 * np.pi, number_of_phases)
# Phases need to be expressed as list of lists in order to work
individual_phases = [[ph] for ph in phases]

Спостережувані величини

Тепер нам потрібні спостережувані величини, з яких можна обчислити очікувані значення. У нашому випадку ми розглядаємо ортогональні базиси для кожного кубіта, дозволяючи параметризованому $Y-$обертанню для першого кубіта майже безперервно змінювати базис вимірювання відносно базису другого кубіта. Тому ми виберемо спостережувані величини $ZZ$, $ZX$, $XZ$ і $XX$.

# <CHSH1> = <AB> - <Ab> + <aB> + <ab> -> <ZZ> - <ZX> + <XZ> + <XX>
observable1 = SparsePauliOp.from_list(
    [("ZZ", 1), ("ZX", -1), ("XZ", 1), ("XX", 1)]
)

# <CHSH2> = <AB> + <Ab> - <aB> + <ab> -> <ZZ> + <ZX> - <XZ> + <XX>
observable2 = SparsePauliOp.from_list(
    [("ZZ", 1), ("ZX", 1), ("XZ", -1), ("XX", 1)]
)

Крок 2: Оптимізація задачі для виконання на квантовому обладнанні

Щоб зменшити загальний час виконання завдання, примітиви V2 приймають лише схеми та спостережувані величини, що відповідають інструкціям та з'єднанню, підтримуваним цільовою системою (які називаються схемами та спостережуваними величинами архітектури набору інструкцій (ISA)).

ISA-схема

target = backend.target
pm = generate_preset_pass_manager(target=target, optimization_level=3)

chsh_isa_circuit = pm.run(chsh_circuit)
chsh_isa_circuit.draw(output="mpl", idle_wires=False, style="iqp")

ISA-спостережувані величини

Аналогічно, нам потрібно перетворити спостережувані величини, щоб зробити їх сумісними з бекендом перед запуском завдань з Runtime Estimator V2. Ми можемо виконати перетворення за допомогою методу apply_layout об'єкта SparsePauliOp.

isa_observable1 = observable1.apply_layout(layout=chsh_isa_circuit.layout)
isa_observable2 = observable2.apply_layout(layout=chsh_isa_circuit.layout)

Крок 3: Виконання за допомогою примітивів Qiskit

Щоб виконати весь експеримент одним викликом Estimator. Ми можемо створити примітив Estimator Qiskit Runtime для обчислення наших очікуваних значень. Метод EstimatorV2.run() приймає ітерований об'єкт примітивних уніфікованих блоків (PUB). Кожен PUB — це ітерований об'єкт у форматі (circuit, observables, parameter_values: Optional, precision: Optional).

# To run on a local simulator:
# Use the StatevectorEstimator from qiskit.primitives instead.

estimator = Estimator(mode=backend)

pub = (
    chsh_isa_circuit,  # ISA circuit
    [[isa_observable1], [isa_observable2]],  # ISA Observables
    individual_phases,  # Parameter values
)

job_result = estimator.run(pubs=[pub]).result()

Крок 4: Постобробка та повернення результату в бажаному класичному форматі

Estimator повертає очікувані значення для обох спостережуваних величин, $\langle ZZ \rangle - \langle ZX \rangle + \langle XZ \rangle + \langle XX \rangle$ і $\langle ZZ \rangle + \langle ZX \rangle - \langle XZ \rangle + \langle XX \rangle$.

chsh1_est = job_result[0].data.evs[0]
chsh2_est = job_result[0].data.evs[1]

fig, ax = plt.subplots(figsize=(10, 6))

# results from hardware
ax.plot(phases / np.pi, chsh1_est, "o-", label="CHSH1", zorder=3)
ax.plot(phases / np.pi, chsh2_est, "o-", label="CHSH2", zorder=3)

# classical bound +-2
ax.axhline(y=2, color="0.9", linestyle="--")
ax.axhline(y=-2, color="0.9", linestyle="--")

# quantum bound, +-2√2
ax.axhline(y=np.sqrt(2) * 2, color="0.9", linestyle="-.")
ax.axhline(y=-np.sqrt(2) * 2, color="0.9", linestyle="-.")
ax.fill_between(phases / np.pi, 2, 2 * np.sqrt(2), color="0.6", alpha=0.7)
ax.fill_between(phases / np.pi, -2, -2 * np.sqrt(2), color="0.6", alpha=0.7)

# set x tick labels to the unit of pi
ax.xaxis.set_major_formatter(tck.FormatStrFormatter("%g $\\pi$"))
ax.xaxis.set_major_locator(tck.MultipleLocator(base=0.5))

# set labels, and legend
plt.xlabel("Theta")
plt.ylabel("CHSH witness")
plt.legend()
plt.show()

На рисунку лінії та сірі області обмежують межі; найзовнішні (пунктирні) лінії обмежують квантові межі ($\pm 2$), тоді як внутрішні (штрихові) лінії обмежують класичні межі ($\pm 2\sqrt{2}$). Ти можеш побачити, що є регіони, де величини-свідки CHSH перевищують класичні межі. Вітаємо! Ти успішно продемонстрував порушення нерівності CHSH у реальній квантовій системі!

Опитування посібника

Будь ласка, пройди це коротке опитування, щоб надати відгук про цей посібник. Твої ідеї допоможуть нам покращити наші пропозиції контенту та користувацький досвід.

Посилання на опитування