Гра CHSH

Останній приклад, який розглядається в цьому уроці, — це не протокол, а гра, відома як гра CHSH.

Коли ми говоримо про гру в цьому контексті, ми маємо на увазі не щось для розваги чи змагання, а математичну абстракцію в сенсі теорії ігор. Математичні абстракції ігор вивчаються, зокрема, в економіці та інформатиці — вони водночас захопливі й корисні.

Абревіатура CHSH відсилає до авторів — Джона Клаузера (John Clauser), Майкла Хорна (Michael Horne), Абнера Шимоні (Abner Shimony) і Річарда Холта (Richard Holt) — статті 1969 року, де цей приклад був уперше описаний. Вони описали його не як гру, а як експеримент. Проте опис у формі гри є цілком природним і інтуїтивно зрозумілим.

Гра CHSH належить до класу ігор, відомих як нелокальні ігри. Нелокальні ігри неймовірно цікаві й мають глибокі зв'язки з фізикою, інформатикою та математикою — вони приховують таємниці, що досі залишаються нерозгаданими. Ми почнемо цей розділ із пояснення того, що таке нелокальні ігри, а потім зосередимося на грі CHSH і тому, що робить її особливою.

Нелокальні ігри

Нелокальна гра — це кооперативна гра, в якій два гравці, Аліса та Боб, працюють разом, щоб досягти певного результату. Гру веде рефері, який діє за суворими правилами, відомими Алісі та Бобу.

Аліса і Боб можуть готуватися до гри як завгодно, але після початку гри їм заборонено спілкуватися. Можна уявити, що гра відбувається в якомусь охоронюваному приміщенні — ніби рефері грає роль детектива, а Аліса та Боб — підозрювані, яких допитують у різних кімнатах. Інший спосіб уявити цю ситуацію: Аліса та Боб розділені величезною відстанню, і спілкування заборонено, бо швидкість світла не дозволяє передати повідомлення за час, відведений на гру. Тобто якщо Аліса спробує надіслати повідомлення Бобу, гра закінчиться до того, як він його отримає — і навпаки.

Нелокальна гра відбувається так: рефері спочатку ставить запитання кожному з гравців — Алісі та Бобу. Позначимо запитання Аліси літерою $x$, а запитання Боба — літерою $y$. Тут $x$ та $y$ — класичні стани; у грі CHSH це біти.

Рефері вибирає ці запитання випадково. Точніше, існує деяка ймовірність $p(x,y)$ для кожної можливої пари запитань $(x,y)$, і рефері зобов'язаний вибирати запитання саме таким чином — випадково, під час гри. Усі, включно з Алісою та Бобом, знають ці ймовірності — але ніхто не знає конкретну пару $(x,y)$ до початку гри.

Після того як Аліса та Боб отримали свої запитання, вони мають дати відповіді: відповідь Аліси — $a$, відповідь Боба — $b.$ Знову ж таки, загалом це класичні стани, а у грі CHSH — біти.

Після цього рефері приймає рішення: Аліса та Боб або виграють, або програють залежно від того, чи є пара відповідей $(a,b)$ правильною для пари запитань $(x,y)$ згідно з фіксованим набором правил. Різні правила — різні ігри; правила гри CHSH описані в наступному розділі. Як уже зазначалося, правила відомі всім.

Наступна діаграма ілюструє взаємодію учасників.

Саме невизначеність щодо того, які запитання будуть задані — і зокрема те, що кожен гравець не знає запитання іншого — робить нелокальні ігри складними для Аліси та Боба. Це схоже на підозрюваних у різних кімнатах, які намагаються узгодити свої показання.

Точний опис дій рефері визначає конкретний примірник нелокальної гри. Він включає задання ймовірностей $p(x,y)$ для кожної пари запитань, а також правила, що визначають, чи є кожна пара відповідей $(a,b)$ виграшною або програшною для кожної можливої пари запитань $(x,y).$

Ми незабаром розглянемо гру CHSH, але перш ніж це зробити, варто зазначити, що вивчення інших нелокальних ігор також надзвичайно цікаве. Насправді це захоплива тема, і є деякі нелокальні ігри, для яких наразі невідомо, наскільки добре Аліса та Боб можуть грати з використанням заплутаності. Постановка проста, але за нею криється справжня складність — і для деяких ігор обчислення найкращих або близьких до найкращих стратегій може виявитися неможливо важким завданням. Саме в цьому й полягає вражаюча природа моделі нелокальних ігор.

Опис гри CHSH

Ось точний опис гри CHSH, де (як і вище) $x$ — запитання Аліси, $y$ — запитання Боба, $a$ — відповідь Аліси, а $b$ — відповідь Боба:

• Запитання та відповіді — це біти: $x,y,a,b\in\{0,1\}.$

• Рефері вибирає запитання $(x,y)$ рівномірно випадково. Тобто кожна з чотирьох можливостей, $(0,0),$ $(0,1),$ $(1,0)$ та $(1,1),$ вибирається з імовірністю $1/4.$

• Відповіді $(a,b)$ є виграшними для запитань $(x,y)$, якщо $a\oplus b = x\wedge y$, і програшними в іншому випадку. Наступна таблиця виражає це правило, перераховуючи умови виграшу та програшу для відповідей $(a,b)$ при кожній парі запитань $(x,y).$

$$\begin{array}{ccc} (x,y) & \text{виграш} & \text{програш} \\[1mm]\hline \rule{0mm}{4mm}(0,0) & a = b & a \neq b \\[1mm] (0,1) & a = b & a \neq b \\[1mm] (1,0) & a = b & a \neq b \\[1mm] (1,1) & a \neq b & a = b \end{array}$$

Обмеження класичних стратегій

Тепер розглянемо стратегії Аліси та Боба в грі CHSH, почавши з класичних стратегій.

Детерміновані стратегії

Почнемо з детермінованих стратегій, де відповідь Аліси $a$ є функцією запитання $x$, яке вона отримала, і так само відповідь Боба $b$ є функцією запитання $y$, яке отримав він. Наприклад, $a(0)$ позначає відповідь Аліси, коли її запитання дорівнює $0$, а $a(1)$ — коли запитання дорівнює $1.$

Жодна детермінована стратегія не може забезпечити виграш у грі CHSH щоразу. Один із способів це довести — перебрати по одній усі можливі детерміновані стратегії й перевірити, що кожна з них програє принаймні для однієї з чотирьох можливих пар запитань. Аліса та Боб можуть кожен вибирати з чотирьох можливих функцій з одного біта в один біт — з якими ми вже знайомилися на першому уроці курсу — тому загалом є $16$ різних детермінованих стратегій для перевірки.

Можна також міркувати аналітично. Якщо стратегія Аліси та Боба виграє при $(x,y) = (0,0)$, то має виконуватись $a(0) = b(0)$; якщо вона виграє при $(x,y) = (0,1)$, то $a(0) = b(1)$; аналогічно, якщо стратегія виграє при $(x,y)=(1,0)$, то $a(1) = b(0).$ Отже, якщо їхня стратегія виграє в усіх трьох випадках, то

$$b(1) = a(0) = b(0) = a(1).$$

Це означає, що стратегія програє в останньому випадку $(x,y) = (1,1)$, бо тут для виграшу потрібно, щоб $a(1) \neq b(1).$ Таким чином, не існує детермінованої стратегії, що виграє щоразу.

З іншого боку, легко знайти детерміновані стратегії, що виграють у трьох із чотирьох випадків, наприклад $a(0)=a(1)=b(0)=b(1)=0.$ З цього випливає, що максимальна ймовірність виграшу Аліси та Боба при детермінованій стратегії становить $3/4.$

Імовірнісні стратегії

Як ми щойно з'ясували, Аліса та Боб не можуть виграти в грі CHSH частіше ніж 75% часу при детермінованій стратегії. А як щодо імовірнісної стратегії? Чи допоможе їм використання випадковості — включно з можливістю спільної випадковості, де їхні випадкові вибори є скорельованими?

Виявляється, імовірнісні стратегії взагалі не підвищують імовірність виграшу Аліси та Боба. Це пояснюється тим, що будь-яку імовірнісну стратегію можна розглядати як випадковий вибір детермінованої стратегії — так само як імовірнісні операції можна розглядати як випадковий вибір детермінованих операцій. Середнє значення ніколи не перевищує максимум, тому імовірнісні стратегії не дають жодної переваги з точки зору загальної ймовірності виграшу.

Отже, виграш з імовірністю $3/4$ — це найкраще, чого можуть досягти Аліса та Боб, використовуючи будь-яку класичну стратегію, детерміновану чи імовірнісну.

Стратегія у грі CHSH

Природне запитання, яке виникає тут: чи можуть Аліса та Боб зробити краще, використовуючи квантову стратегію? Зокрема, якщо вони поділяють заплутаний квантовий стан, як це показано на наступному малюнку — такий стан вони могли підготувати ще до початку гри, — чи здатні вони підвищити свою ймовірність виграшу?

Відповідь — так, і в цьому полягає головна ідея прикладу та причина його особливої цікавості. Тож давайте розберемося, як саме Аліса та Боб можуть грати краще в цій грі, використовуючи заплутаність.

Необхідні вектори та матриці

Перше, що нам потрібно зробити, — визначити вектор стану кубіта $\vert \psi_{\theta}\rangle$ для кожного дійсного числа $\theta$ (яке ми розглядатимемо як кут у радіанах) таким чином:

$$\vert\psi_{\theta}\rangle = \cos(\theta)\vert 0\rangle + \sin(\theta) \vert 1\rangle$$

Ось кілька простих прикладів:

$$\begin{aligned} \vert\psi_{0}\rangle & = \vert 0\rangle \\ \vert\psi_{\pi/2}\rangle & = \vert 1\rangle \\ \vert\psi_{\pi/4}\rangle & = \vert + \rangle \\ \vert\psi_{-\pi/4}\rangle & = \vert - \rangle \end{aligned}$$

Також маємо такі приклади, що виникають у подальшому аналізі:

$$\begin{aligned} \vert\psi_{-\pi/8}\rangle & = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle \\[1mm] \vert\psi_{\pi/8}\rangle & = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle \\[1mm] \vert\psi_{3\pi/8}\rangle & = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle \\[1mm] \vert\psi_{5\pi/8}\rangle & = -\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}\vert 0\rangle + \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}\vert 1\rangle \end{aligned}$$

Дивлячись на загальну форму, бачимо, що скалярний добуток між будь-якими двома такими векторами визначається формулою:

$$\langle \psi_{\alpha} \vert \psi_{\beta} \rangle = \cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta) = \cos(\alpha-\beta). \tag{1}$$

Детальніше: в цих векторах є лише дійсні елементи, тому комплексне спряження не потрібне: скалярний добуток — це добуток косинусів плюс добуток синусів. Застосування однієї з формул додавання кутів з тригонометрії дає наведене вище спрощення. Ця формула розкриває геометричний зміст скалярного добутку між дійсними одиничними векторами як косинус кута між ними.

Якщо обчислити скалярний добуток тензорного добутку будь-яких двох таких векторів зі станом $\vert \phi^+\rangle$, отримаємо схожий вираз, але з $\sqrt{2}$ у знаменнику:

$$\langle \psi_{\alpha} \otimes \psi_{\beta} \vert \phi^+ \rangle = \frac{\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)}{\sqrt{2}} = \frac{\cos(\alpha-\beta)}{\sqrt{2}}. \tag{2}$$

Для чого нам знадобиться саме цей скалярний добуток — стане зрозуміло трохи пізніше, а поки що ми просто фіксуємо цю формулу.

Далі визначимо унітарну матрицю $U_{\theta}$ для кожного кута $\theta$ таким чином:

$$U_{\theta} = \vert 0 \rangle \langle \psi_{\theta} \vert + \vert 1\rangle\langle \psi_{\theta+\pi/2} \vert$$

Інтуїтивно кажучи, ця матриця перетворює $\vert\psi_{\theta}\rangle$ на $\vert 0\rangle$, а $\vert \psi_{\theta + \pi/2}\rangle$ — на $\vert 1\rangle.$ Щоб переконатися, що це унітарна матриця, ключовим спостереженням є те, що вектори $\vert\psi_{\theta}\rangle$ та $\vert\psi_{\theta + \pi/2}\rangle$ є ортогональними для кожного кута $\theta$:

$$\langle \psi_{\theta} \vert \psi_{\theta + \pi/2} \rangle = \cos(\pi/2) = 0.$$

Отже, маємо:

$$\begin{aligned} U_{\theta} U_{\theta}^{\dagger} & = \bigl(\vert 0 \rangle \langle \psi_{\theta} \vert + \vert 1\rangle\langle \psi_{\theta+\pi/2} \vert\bigr) \bigl(\vert \psi_{\theta} \rangle \langle 0 \vert + \vert \psi_{\theta+\pi/2}\rangle\langle 1 \vert\bigr) \\[1mm] & = \vert 0 \rangle \langle \psi_{\theta} \vert \psi_{\theta} \rangle \langle 0 \vert + \vert 0 \rangle \langle \psi_{\theta} \vert \psi_{\theta+\pi/2} \rangle \langle 1 \vert + \vert 1 \rangle \langle \psi_{\theta+\pi/2} \vert \psi_{\theta} \rangle \langle 0 \vert + \vert 1 \rangle \langle \psi_{\theta+\pi/2} \vert \psi_{\theta+\pi/2} \rangle \langle 1 \vert \\[1mm] & = \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \vert 1 \rangle \langle 1 \vert\\[1mm] & = \mathbb{I}. \end{aligned}$$

Цю матрицю можна також записати явно у вигляді:

$$U_{\theta} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta)\\[1mm] \cos(\theta+ \pi/2) & \sin(\theta + \pi/2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta)\\[1mm] -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{pmatrix}.$$

Це приклад матриці повороту, яка зокрема повертає двовимірні вектори з дійсними елементами на кут $-\theta$ відносно початку координат. Якщо дотримуватися стандартного позначення для різних форм поворотів, маємо $U_{\theta} = R_y(-2\theta)$, де

$$R_y(\theta) = \begin{pmatrix} \cos(\theta/2) & -\sin(\theta/2)\\[1mm] \sin(\theta/2) & \cos(\theta/2) \end{pmatrix}.$$

Опис стратегії

Тепер можна описати квантову стратегію.

• Підготовка: Аліса і Боб починають гру, поділяючи е-біт: Аліса тримає кубіт $\mathsf{A},$ Боб тримає кубіт $\mathsf{B},$ і разом два кубіти $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ перебувають у стані $\vert\phi^+\rangle.$

• Дії Аліси:

  • Якщо Аліса отримує питання $x=0,$ вона застосовує $U_{0}$ до свого кубіта $\mathsf{A}.$
  • Якщо Аліса отримує питання $x=1,$ вона застосовує $U_{\pi/4}$ до свого кубіта $\mathsf{A}.$

  Операцію, яку Аліса виконує над $\mathsf{A},$ можна описати інакше:

  $$\begin{cases} U_0 & \text{if $x = 0$}\\ U_{\pi/4} & \text{if $x = 1$} \end{cases}$$

  Після того як Аліса застосовує цю операцію, вона вимірює $\mathsf{A}$ у стандартному базисі та встановлює свою відповідь $a$ рівною результату вимірювання.

• Дії Боба:

  • Якщо Боб отримує питання $y=0,$ він застосовує $U_{\pi/8}$ до свого кубіта $\mathsf{B}.$
  • Якщо Боб отримує питання $y=1,$ він застосовує $U_{-\pi/8}$ до свого кубіта $\mathsf{B}.$

  Як і для Аліси, операцію Боба над $\mathsf{B}$ можна записати так:

  $$\begin{cases} U_{\pi/8} & \text{if $y = 0$}\\ U_{-\pi/8} & \text{if $y = 1$} \end{cases}$$

  Після того як Боб застосовує цю операцію, він вимірює $\mathsf{B}$ у стандартному базисі та встановлює свою відповідь $b$ рівною результату вимірювання.

Ось схема квантової схеми, що описує цю стратегію:

На цій схемі ми бачимо два звичайних керованих гейти: один для $U_{-\pi/8}$ вгорі та один для $U_{\pi/4}$ внизу. Ще є два гейти, що схожі на керовані, — один для $U_{\pi/8}$ вгорі та один для $U_{0}$ внизу, — але коло, що позначає керуючий кубіт, не закрашене. Це позначає інший тип керованого гейта, де операція виконується, якщо керуючий кубіт дорівнює $0$ (а не $1,$ як у звичайному керованому гейті). Отже, фактично Боб виконує $U_{\pi/8}$ над своїм кубітом при $y=0$ і $U_{-\pi/8}$ при $y=1;$ а Аліса виконує $U_0$ над своїм кубітом при $x=0$ і $U_{\pi/4}$ при $x=1,$ що узгоджується з описом протоколу словами вище.

Залишається з'ясувати, наскільки добре ця стратегія працює для Аліси і Боба. Зробимо це, розглянувши всі чотири можливі пари питань окремо.

Покроковий аналіз

• Випадок 1: $(x,y) = (0,0).$

  У цьому випадку Аліса виконує $U_{0}$ над своїм кубітом, а Боб — $U_{\pi/8}$ над своїм, тому стан двох кубітів $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ після виконання ними операцій має вигляд

  $$\begin{aligned} \bigl(U_0 \otimes U_{\pi/8}\bigr) \vert \phi^+\rangle & = \vert 00 \rangle \langle \psi_0 \otimes \psi_{\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 01 \rangle \langle \psi_0 \otimes\psi_{5\pi/8}\vert \phi^+\rangle \\ & \qquad + \vert 10 \rangle \langle \psi_{\pi/2} \otimes \psi_{\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 11 \rangle \langle \psi_{\pi/2} \otimes \psi_{5\pi/8}\vert \phi^+\rangle\\[2mm] & = \frac{ \cos\bigl(-\frac{\pi}{8}\bigr) \vert 00\rangle + \cos\bigl(-\frac{5\pi}{8}\bigr) \vert 01\rangle + \cos\bigl(\frac{3\pi}{8}\bigr) \vert 10\rangle + \cos\bigl(-\frac{\pi}{8}\bigr) \vert 11\rangle}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

  Ймовірності для чотирьох можливих пар відповідей $(a,b)$ такі.

  $$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(-\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8} \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(-\frac{5\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{3\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(-\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8} \end{aligned}$$

  Ймовірності $a=b$ та $a\neq b$ отримаємо підсумовуванням.

  $$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(a = b) & = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}\\[2mm] \operatorname{Pr}(a \neq b) & = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

  Для пари питань $(0,0)$ Аліса і Боб перемагають, якщо $a=b,$ тому в цьому випадку вони перемагають з імовірністю

  $$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}.$$

• Випадок 2: $(x,y) = (0,1).$

  У цьому випадку Аліса виконує $U_{0}$ над своїм кубітом, а Боб — $U_{-\pi/8}$ над своїм, тому стан двох кубітів $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ після виконання ними операцій має вигляд

  $$\begin{aligned} \bigl(U_0 \otimes U_{-\pi/8}\bigr) \vert \phi^+\rangle & = \vert 00 \rangle \langle \psi_0 \otimes \psi_{-\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 01 \rangle \langle \psi_0 \otimes\psi_{3\pi/8}\vert \phi^+\rangle \\ & \qquad + \vert 10 \rangle \langle \psi_{\pi/2} \otimes \psi_{-\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 11 \rangle \langle \psi_{\pi/2} \otimes \psi_{3\pi/8}\vert \phi^+\rangle\\[2mm] & = \frac{ \cos\bigl(\frac{\pi}{8}\bigr) \vert 00\rangle + \cos\bigl(-\frac{3\pi}{8}\bigr) \vert 01\rangle + \cos\bigl(\frac{5\pi}{8}\bigr) \vert 10\rangle + \cos\bigl(\frac{\pi}{8}\bigr) \vert 11\rangle}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

  Ймовірності для чотирьох можливих пар відповідей $(a,b)$ такі.

  $$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8} \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(-\frac{3\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{5\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8} \end{aligned}$$

  Знову підсумовуванням отримуємо ймовірності $a=b$ та $a\neq b.$

  $$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(a = b) & = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}\\[2mm] \operatorname{Pr}(a \neq b) & = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

  Для пари питань $(0,1)$ Аліса і Боб перемагають, якщо $a=b,$ тому в цьому випадку вони перемагають з імовірністю

  $$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}.$$

• Випадок 3: $(x,y) = (1,0).$

  У цьому випадку Аліса виконує $U_{\pi/4}$ над своїм кубітом, а Боб — $U_{\pi/8}$ над своїм, тому стан двох кубітів $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ після виконання ними операцій має вигляд

  $$\begin{aligned} \bigl(U_{\pi/4} \otimes U_{\pi/8}\bigr) \vert \phi^+\rangle & = \vert 00 \rangle \langle \psi_{\pi/4} \otimes \psi_{\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 01 \rangle \langle \psi_{\pi/4} \otimes\psi_{5\pi/8}\vert \phi^+\rangle \\ & \qquad + \vert 10 \rangle \langle \psi_{3\pi/4} \otimes \psi_{\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 11 \rangle \langle \psi_{3\pi/4} \otimes \psi_{5\pi/8}\vert \phi^+\rangle\\[2mm] & = \frac{ \cos\bigl(\frac{\pi}{8}\bigr) \vert 00\rangle + \cos\bigl(-\frac{3\pi}{8}\bigr) \vert 01\rangle + \cos\bigl(\frac{5\pi}{8}\bigr) \vert 10\rangle + \cos\bigl(\frac{\pi}{8}\bigr) \vert 11\rangle}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

  Ймовірності для чотирьох можливих пар відповідей $(a,b)$ такі.

  $$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8} \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(-\frac{3\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{5\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8} \end{aligned}$$

  Знову отримуємо, що ймовірності $a=b$ та $a\neq b$ такі.

  $$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(a = b) & = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}\\[2mm] \operatorname{Pr}(a \neq b) & = \frac{2 - \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

  Для пари питань $(1,0)$ Аліса і Боб перемагають, якщо $a=b,$ тому в цьому випадку вони перемагають з імовірністю

  $$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}.$$

• Випадок 4: $(x,y) = (1,1).$

  Останній випадок дещо відрізняється, що й очікувано, оскільки умова перемоги тут інша. Коли і $x,$ і $y$ дорівнюють $1,$ Аліса і Боб перемагають, якщо $a$ і $b$ різні. У цьому випадку Аліса виконує $U_{\pi/4}$ над своїм кубітом, а Боб — $U_{-\pi/8}$ над своїм, тому стан двох кубітів $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ після виконання ними операцій має вигляд

  $$\begin{aligned} \bigl(U_{\pi/4} \otimes U_{-\pi/8}\bigr) \vert \phi^+\rangle & = \vert 00 \rangle \langle \psi_{\pi/4} \otimes \psi_{-\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 01 \rangle \langle \psi_{\pi/4} \otimes\psi_{3\pi/8}\vert \phi^+\rangle \\ & \qquad + \vert 10 \rangle \langle \psi_{3\pi/4} \otimes \psi_{-\pi/8}\vert \phi^+\rangle + \vert 11 \rangle \langle \psi_{3\pi/4} \otimes \psi_{3\pi/8}\vert \phi^+\rangle\\[2mm] & = \frac{ \cos\bigl(\frac{3\pi}{8}\bigr) \vert 00\rangle + \cos\bigl(-\frac{\pi}{8}\bigr) \vert 01\rangle + \cos\bigl(\frac{7\pi}{8}\bigr) \vert 10\rangle + \cos\bigl(\frac{3\pi}{8}\bigr) \vert 11\rangle}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

  Ймовірності для чотирьох можливих пар відповідей $(a,b)$ такі.

  $$\begin{aligned} \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{3\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8} \\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(0,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(-\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,0)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{7\pi}{8}\Bigr) = \frac{2+\sqrt{2}}{8}\\[2mm] \operatorname{Pr}\bigl((a,b)=(1,1)\bigr) & = \frac{1}{2}\cos^2\Bigl(\frac{3\pi}{8}\Bigr) = \frac{2-\sqrt{2}}{8} \end{aligned}$$

  Ймовірності фактично помінялися місцями порівняно з трьома іншими випадками. Підсумовуванням отримуємо ймовірності $a=b$ та $a\neq b.$

  $$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(a = b) & = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}\\[2mm] \operatorname{Pr}(a \neq b) & = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \end{aligned}$$

  Для пари питань $(1,1)$ Аліса і Боб перемагають, якщо $a\neq b,$ тому в цьому випадку вони перемагають з імовірністю

  $$\frac{2 + \sqrt{2}}{4}.$$

У кожному випадку вони перемагають з однаковою імовірністю:

$$\frac{2 + \sqrt{2}}{4} \approx 0.85.$$

Це і є імовірність їхньої перемоги загалом. Це значно краще, ніж будь-яка класична стратегія для цієї гри; для класичних стратегій імовірність перемоги обмежена зверху значенням $3/4.$ Саме це робить даний приклад надзвичайно цікавим.

Ця імовірність є оптимальною для квантових стратегій. Тобто неможливо досягти кращого результату, яким би заплутаним станом чи вимірюваннями ми не скористалися. Цей факт відомий як нерівність Цирельсона — на честь Бориса Цирельсона, який першим довів її і першим описав експеримент CHSH у вигляді гри.

Геометрична інтерпретація

Стратегію, описану вище, можна уявити геометрично — це допомагає краще зрозуміти зв'язки між різними кутами, які обирають Аліса і Боб для своїх операцій.

Фактично Аліса обирає кут $\alpha,$ залежно від свого питання $x,$ а потім застосовує $U_{\alpha}$ до свого кубіта та вимірює його. Аналогічно, Боб обирає кут $\beta,$ залежно від $y,$ потім застосовує $U_{\beta}$ до свого кубіта і вимірює його. Ми вибрали $\alpha$ і $\beta$ таким чином.

$$\begin{aligned} \alpha & = \begin{cases} 0 & x=0\\ \pi/4 & x=1 \end{cases}\\[4mm] \beta & = \begin{cases} \pi/8 & y = 0\\ -\pi/8 & y = 1 \end{cases} \end{aligned}$$

Поки що, однак, вважатимемо $\alpha$ і $\beta$ довільними. Обираючи $\alpha,$ Аліса фактично визначає ортонормований базис векторів, який виглядає ось так:

Боб робить те саме, тільки його кут — $\beta$:

Кольори векторів відповідають відповідям Аліси і Боба: синій — для $0$, червоний — для $1.$

Тепер, якщо поєднати $(1)$ і $(2),$ отримаємо формулу

$$\langle \psi_{\alpha} \otimes\psi_{\beta} \vert \phi^+ \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \langle \psi_{\alpha} \vert \psi_{\beta} \rangle,$$

яка справедлива для будь-яких дійсних чисел $\alpha$ і $\beta.$

Якщо провести аналіз, подібний до наведеного вище, але з $\alpha$ і $\beta$ як змінними, отримаємо:

$$\begin{aligned} & \bigl(U_{\alpha} \otimes U_{\beta}\bigr) \vert \phi^+\rangle\\[1mm] & \qquad = \vert 00 \rangle \langle \psi_{\alpha} \otimes \psi_{\beta}\vert \phi^+\rangle + \vert 01 \rangle \langle \psi_{\alpha} \otimes\psi_{\beta + \pi/2}\vert \phi^+\rangle \\ & \qquad \qquad + \vert 10 \rangle \langle \psi_{\alpha+\pi/2} \otimes \psi_{\beta}\vert \phi^+\rangle + \vert 11 \rangle \langle \psi_{\alpha+\pi/2} \otimes \psi_{\beta+\pi/2}\vert \phi^+\rangle\\[2mm] & \qquad = \frac{ \langle \psi_\alpha \vert \psi_\beta \rangle \vert 00\rangle + \langle \psi_\alpha \vert \psi_{\beta+\pi/2} \rangle \vert 01\rangle + \langle \psi_{\alpha+\pi/2} \vert \psi_\beta \rangle \vert 10\rangle + \langle \psi_{\alpha+\pi/2} \vert \psi_{\beta+\pi/2} \rangle \vert 11\rangle }{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

Звідси отримуємо дві формули:

$$\begin{aligned} \operatorname{Pr}(a = b) & = \frac{1}{2} \vert \langle \psi_\alpha \vert \psi_\beta \rangle \vert^2 + \frac{1}{2} \vert \langle \psi_{\alpha+\pi/2} \vert \psi_{\beta+\pi/2} \rangle \vert^2 = \cos^2(\alpha - \beta)\\[2mm] \operatorname{Pr}(a \neq b) & = \frac{1}{2} \vert \langle \psi_\alpha \vert \psi_{\beta+\pi/2} \rangle \vert^2 + \frac{1}{2} \vert \langle \psi_{\alpha+\pi/2} \vert \psi_\beta \rangle \vert^2 = \sin^2(\alpha - \beta). \end{aligned}$$

Ці рівняння можна пов'язати з наведеними вище малюнками, якщо накласти бази, обрані Алісою та Бобом, одну на одну. Зокрема, коли $(x,y) = (0,0),$ Аліса і Боб обирають $\alpha = 0$ та $\beta = \pi/8,$ і після накладання їхніх базисів отримуємо такий малюнок:

Кут між червоними векторами становить $\pi/8$ — такий самий, як і кут між двома синіми векторами. Імовірність того, що результати Аліси і Боба збігаються, дорівнює косинусу у квадраті цього кута,

$$\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4},$$

а імовірність розбіжності — синусу у квадраті цього кута,

$$\sin^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}.$$

Коли $(x,y) = (0,1),$ Аліса і Боб обирають $\alpha = 0$ та $\beta = -\pi/8,$ і після накладання їхніх базисів отримуємо такий малюнок:

Кут між червоними векторами знову дорівнює $\pi/8,$ як і кут між синіми векторами. Імовірність збігу результатів Аліси і Боба знову дорівнює косинусу у квадраті цього кута,

$$\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4},$$

а імовірність розбіжності — синусу у квадраті цього кута,

$$\sin^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}.$$

Коли $(x,y) = (1,0),$ Аліса і Боб обирають $\alpha = \pi/4$ та $\beta = \pi/8,$ і після накладання їхніх базисів отримуємо такий малюнок:

Базиси змінилися, але кути — ні: знову кут між векторами одного кольору становить $\pi/8.$ Імовірність того, що результати Аліси і Боба збігаються, дорівнює

$$\cos^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4},$$

а імовірність розбіжності —

$$\sin^2\Bigl(\frac{\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}.$$

Коли $(x,y) = (1,1),$ Аліса і Боб обирають $\alpha = \pi/4$ та $\beta = -\pi/8.$ Накладаючи їхні базиси, бачимо, що щось змінилося:

Через вибір кутів цього разу кут між векторами одного кольору дорівнює $3\pi/8,$ а не $\pi/8.$ Імовірність збігу результатів Аліси і Боба, як і раніше, дорівнює косинусу у квадраті цього кута, проте тепер це значення таке:

$$\cos^2\Bigl(\frac{3\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 - \sqrt{2}}{4}.$$

Імовірність розбіжності результатів дорівнює синусу у квадраті цього кута, що в даному випадку становить:

$$\sin^2\Bigl(\frac{3\pi}{8}\Bigr) = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}.$$

Зауваження

Базова ідея такого експерименту, як гра CHSH, де заплутаність дає статистичні результати, несумісні з суто класичними міркуваннями, належить Джону Беллу — тому, чиїм іменем названі стани Белла. Саме тому подібні експерименти часто називають тестами Белла. Іноді також згадують теорему Белла, яку можна сформулювати по-різному, — але її суть полягає в тому, що квантова механіка несумісна з так званими теоріями прихованих локальних змінних. Гра CHSH — це особливо чистий і простий приклад тесту Белла, який можна розглядати як доведення, або демонстрацію, теореми Белла.

Гра CHSH дає спосіб експериментально перевірити теорію квантової інформації. Можна проводити експерименти, які реалізують гру CHSH і перевіряють описані вище стратегії, засновані на заплутаності. Це дає нам високий рівень впевненості в тому, що заплутаність реальна — і на відміну від часом розмитих чи поетичних пояснень заплутаності, гра CHSH пропонує конкретний і перевірюваний спосіб спостерігати заплутаність.