Перейти до основного вмісту

Надщільне кодування

Надщільне кодування — це протокол, який у певному сенсі досягає мети, комплементарної телепортації. Замість того щоб дозволяти передачу одного кубіта за допомогою двох класичних бітів комунікації (ціною одного e-біту заплутаності), він дозволяє передачу двох класичних бітів за допомогою одного кубіта квантового зв'язку (знову ж таки, ціною одного e-біту заплутаності).

Детальніше: є відправник (Аліса) і отримувач (Боб), які ділять одним e-бітом заплутаності. Відповідно до конвенцій, прийнятих для цього уроку, це означає, що Аліса тримає кубіт A,\mathsf{A}, Боб тримає кубіт B,\mathsf{B}, і разом пара (A,B)(\mathsf{A},\mathsf{B}) перебуває в стані ∣ϕ+⟩.\vert\phi^+\rangle. Аліса хоче передати Бобу два класичні біти, які ми позначимо cc та d,d, і вона здійснить це, надіславши йому один кубіт.

Можна обґрунтовано вважати це досягнення менш цікавим порівняно з тим, що здійснює телепортація. Надсилати кубіти в осяжному майбутньому, мабуть, буде настільки складніше, ніж надсилати класичні біти, що обмін одним кубітом квантового зв'язку на два біти класичного зв'язку, та ще й ціною e-біту, навряд чи видається вартим зусиль. Однак це не означає, що надщільне кодування не є цікавим, адже воно безумовно цікаве.

Відповідно до теми уроку, одна з причин, чому надщільне кодування цікаве, полягає в тому, що воно демонструє конкретне і (в контексті теорії інформації) досить вражаюче використання заплутаності. Відома теорема в теорії квантової інформації, відома як теорема Голево, означає, що без використання спільного заплутаного стану неможливо передати більше одного біту класичної інформації, надіславши один кубіт. (Теорема Голево є більш загальною ніж це. Її точне формулювання є технічним і потребує пояснення, але це один з її наслідків.) Отже, завдяки надщільному кодуванню спільна заплутаність фактично дозволяє подвоїти класичну інформаційну ємність надсилання кубітів.

Протокол​

Наступна квантова схема описує протокол надщільного кодування:

Схема надщільного кодування

Словами, ось що робить Аліса:

  1. Якщо d=1,d=1, Аліса застосовує вентиль ZZ до свого кубіта A\mathsf{A} (якщо d=0d=0 — не застосовує).

  2. Якщо c=1,c=1, Аліса застосовує вентиль XX до свого кубіта A\mathsf{A} (якщо c=0c=0 — не застосовує).

Після цього Аліса надсилає свій кубіт A\mathsf{A} Бобу.

Коли Боб отримує кубіт A,\mathsf{A}, він спочатку виконує вентиль керованого NOT, де A\mathsf{A} є керуючим, а B\mathsf{B} — цільовим, а потім застосовує вентиль Адамара до A.\mathsf{A}. Потім він вимірює B\mathsf{B} для отримання cc та A\mathsf{A} для отримання d,d, у обох випадках виконуючи вимірювання в стандартному базисі.

Аналіз​

Ідея цього протоколу досить проста: Аліса фактично обирає, який стан Белла вона хотіла б ділити з Бобом, вона надсилає Бобу свій кубіт, і Боб вимірює, щоб визначити, який стан Белла обрала Аліса.

Тобто спочатку вони ділять ∣ϕ+⟩,\vert\phi^+\rangle, і залежно від бітів cc та d,d, Аліса або залишає цей стан без змін, або переводить його в один з інших станів Белла, застосовуючи I,\mathbb{I}, X,X, Z,Z, або XZXZ до свого кубіта A.\mathsf{A}.

(I⊗I)∣ϕ+⟩=∣ϕ+⟩(I⊗Z)∣ϕ+⟩=∣ϕ−⟩(I⊗X)∣ϕ+⟩=∣ψ+⟩(I⊗XZ)∣ϕ+⟩=∣ψ−⟩\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}

Дії Боба мають такий вплив на чотири стани Белла:

∣ϕ+⟩↦∣00⟩∣ϕ−⟩↦∣01⟩∣ψ+⟩↦∣10⟩∣ψ−⟩↦−∣11⟩\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}

Це можна перевірити безпосередньо, обчислюючи результати операцій Боба на цих станах по одному.

Отже, коли Боб виконує свої вимірювання, він може визначити, який стан Белла обрала Аліса. Перевірка правильності роботи протоколу полягає в перевірці кожного випадку:

  • Якщо cd=00,cd = 00, то стан (B,A)(\mathsf{B},\mathsf{A}) у момент отримання Бобом A\mathsf{A} дорівнює ∣ϕ+⟩.\vert \phi^+\rangle. Він перетворює цей стан на ∣00⟩\vert 00\rangle і отримує cd=00.cd = 00.

  • Якщо cd=01,cd = 01, то стан (B,A)(\mathsf{B},\mathsf{A}) у момент отримання Бобом A\mathsf{A} дорівнює ∣ϕ−⟩.\vert \phi^-\rangle. Він перетворює цей стан на ∣01⟩\vert 01\rangle і отримує cd=01.cd = 01.

  • Якщо cd=10,cd = 10, то стан (B,A)(\mathsf{B},\mathsf{A}) у момент отримання Бобом A\mathsf{A} дорівнює ∣ψ+⟩.\vert \psi^+\rangle. Він перетворює цей стан на ∣10⟩\vert 10\rangle і отримує cd=10.cd = 10.

  • Якщо cd=11,cd = 11, то стан (B,A)(\mathsf{B},\mathsf{A}) у момент отримання Бобом A\mathsf{A} дорівнює ∣ψ−⟩.\vert \psi^-\rangle. Він перетворює цей стан на −∣11⟩-\vert 11\rangle і отримує cd=11.cd = 11. (Фазовий множник мінус один тут не має жодного ефекту.)