Надщільне кодування

Надщільне кодування — це протокол, який у певному сенсі досягає мети, комплементарної телепортації. Замість того щоб дозволяти передачу одного кубіта за допомогою двох класичних бітів комунікації (ціною одного e-біту заплутаності), він дозволяє передачу двох класичних бітів за допомогою одного кубіта квантового зв'язку (знову ж таки, ціною одного e-біту заплутаності).

Детальніше: є відправник (Аліса) і отримувач (Боб), які мають спільний e-біт заплутаності. Відповідно до конвенцій, прийнятих для цього уроку, це означає, що Аліса тримає кубіт $\mathsf{A}$, Боб тримає кубіт $\mathsf{B}$, і разом пара $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ перебуває в стані $\vert\phi^+\rangle$. Аліса хоче передати Бобу два класичні біти, які ми позначимо $c$ та $d$, і вона здійснить це, надіславши йому один кубіт.

Можна обґрунтовано вважати це досягнення менш цікавим порівняно з тим, що здійснює телепортація. Надсилати кубіти в осяжному майбутньому, мабуть, буде настільки складніше, ніж надсилати класичні біти, що обмін одним кубітом квантового зв'язку на два біти класичного зв'язку, та ще й ціною e-біту, навряд чи видається вартим зусиль. Однак це не означає, що надщільне кодування не є цікавим, адже воно безумовно цікаве.

Відповідно до теми уроку, одна з причин, чому надщільне кодування цікаве, полягає в тому, що воно демонструє конкретне і (в контексті теорії інформації) досить вражаюче використання заплутаності. Відома теорема в теорії квантової інформації, відома як теорема Голево, означає, що без використання спільного заплутаного стану неможливо передати більше одного біту класичної інформації, надіславши один кубіт. (Теорема Голево є більш загальною ніж це. Її точне формулювання є технічним і потребує пояснення, але це один з її наслідків.) Отже, завдяки надщільному кодуванню спільна заплутаність фактично дозволяє подвоїти класичну інформаційну ємність надсилання кубітів.

Протокол

Наступна квантова схема описує протокол надщільного кодування:

Інакше кажучи, Аліса робить ось що:

1. Якщо $d=1$, Аліса застосовує вентиль $Z$ до свого кубіта $\mathsf{A}$ (якщо $d=0$ — не застосовує).

2. Якщо $c=1$, Аліса застосовує вентиль $X$ до свого кубіта $\mathsf{A}$ (якщо $c=0$ — не застосовує).

Після цього Аліса надсилає свій кубіт $\mathsf{A}$ Бобу.

Коли Боб отримує кубіт $\mathsf{A}$, він спочатку виконує вентиль керованого NOT, де $\mathsf{A}$ є керуючим, а $\mathsf{B}$ — цільовим, а потім застосовує вентиль Адамара до $\mathsf{A}$. Потім він вимірює $\mathsf{B}$ для отримання $c$ та $\mathsf{A}$ для отримання $d$, в обох випадках виконуючи вимірювання в стандартному базисі.

Аналіз

Ідея цього протоколу досить проста: Аліса фактично обирає, який стан Белла вона хотіла б ділити з Бобом, вона надсилає Бобу свій кубіт, і Боб вимірює, щоб визначити, який стан Белла обрала Аліса.

Тобто спочатку вони ділять $\vert\phi^+\rangle,$ і залежно від бітів $c$ та $d,$ Аліса або залишає цей стан без змін, або переводить його в один з інших станів Белла, застосовуючи $\mathbb{I},$ $X,$ $Z,$ або $XZ$ до свого кубіта $\mathsf{A}.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes Z) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \phi^-\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes X) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^+\rangle \\ (\mathbb{I} \otimes XZ) \vert \phi^+ \rangle & = \vert \psi^-\rangle \end{aligned}$$

Дії Боба мають такий вплив на чотири стани Белла:

$$\begin{aligned} \vert \phi^+\rangle & \mapsto \vert 00\rangle\\ \vert \phi^-\rangle & \mapsto \vert 01\rangle\\ \vert \psi^+\rangle & \mapsto \vert 10\rangle\\ \vert \psi^-\rangle & \mapsto -\vert 11\rangle\\ \end{aligned}$$

Це можна перевірити безпосередньо, обчисливши результат операцій Боба для кожного з цих станів окремо.

Отже, коли Боб виконує свої вимірювання, він може визначити, який стан Белла обрала Аліса. Перевірка правильності роботи протоколу полягає в перевірці кожного випадку:

• Якщо $cd = 00$, то стан $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ у момент отримання Бобом $\mathsf{A}$ дорівнює $\vert \phi^+\rangle$. Він перетворює цей стан на $\vert 00\rangle$ і отримує $cd = 00$.

• Якщо $cd = 01$, то стан $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ у момент отримання Бобом $\mathsf{A}$ дорівнює $\vert \phi^-\rangle$. Він перетворює цей стан на $\vert 01\rangle$ і отримує $cd = 01$.

• Якщо $cd = 10$, то стан $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ у момент отримання Бобом $\mathsf{A}$ дорівнює $\vert \psi^+\rangle$. Він перетворює цей стан на $\vert 10\rangle$ і отримує $cd = 10$.

• Якщо $cd = 11$, то стан $(\mathsf{B},\mathsf{A})$ у момент отримання Бобом $\mathsf{A}$ дорівнює $\vert \psi^-\rangle$. Він перетворює цей стан на $-\vert 11\rangle$ і отримує $cd = 11$. (Фазовий множник мінус один тут не має жодного ефекту.)