Квантова телепортація

Квантова телепортація, або просто телепортація, — це протокол, у якому відправник (Аліса) передає кубіт отримувачу (Бобу), використовуючи спільний заплутаний квантовий стан (один e-біт, якщо точніше) разом із двома бітами класичного зв'язку. Назва телепортація покликана нагадати концепцію з наукової фантастики, де матерія переноситься з одного місця в інше за допомогою футуристичного процесу, але слід розуміти, що в квантовій телепортації матерія не телепортується — насправді телепортується квантова інформація.

Налаштування для телепортації виглядає так.

Ми припускаємо, що Аліса та Боб ділять e-бітом: Аліса тримає кубіт $\mathsf{A},$ Боб тримає кубіт $\mathsf{B},$ і разом пара $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ перебуває в стані $\vert\phi^+\rangle.$ Наприклад, могло бути так, що Аліса та Боб раніше перебували в одному місці, підготували кубіти $\mathsf{A}$ та $\mathsf{B}$ у стані $\vert \phi^+ \rangle,$ а потім кожен пішов своєю дорогою зі своїм кубітом. Або міг бути використаний інший процес, наприклад той, що передбачає третю сторону або складний розподілений процес, для встановлення цього спільного e-біту. Ці деталі не є частиною самого протоколу телепортації.

Потім Аліса отримує третій кубіт $\mathsf{Q},$ який вона хоче передати Бобу. Стан кубіта $\mathsf{Q}$ вважається невідомим для Аліси та Боба, і жодних припущень щодо нього не робиться. Наприклад, кубіт $\mathsf{Q}$ може бути заплутаним з однією або кількома іншими системами, до яких ні Аліса, ні Боб не мають доступу. Сказати, що Аліса хоче передати кубіт $\mathsf{Q}$ Бобу, означає, що Аліса хотіла б, щоб Боб тримав кубіт, який перебуває в тому ж стані, що й $\mathsf{Q}$ на початку протоколу, зберігаючи всі кореляції, які $\mathsf{Q}$ мав з іншими системами, — ніби Аліса фізично передала $\mathsf{Q}$ Бобу.

Можна уявити, що Аліса фізично надсилає кубіт $\mathsf{Q}$ Бобу, і якщо він досягне Боба без змін або порушень під час передачі, то завдання Аліси та Боба буде виконано. Проте в контексті телепортації ми припускаємо, що це нездійсненно; Аліса не може надсилати кубіти безпосередньо Бобу. Проте вона може надсилати Бобу класичну інформацію.

Це розумні припущення в різних ситуаціях. Наприклад, якщо Аліса не знає точного місцезнаходження Боба або відстань між ними велика, фізична відправка кубіта з використанням сучасних технологій або технологій найближчого майбутнього буде, м'яко кажучи, надзвичайно складною. Однак, як ми знаємо з повсякденного досвіду, передача класичної інформації за таких обставин є досить простою.

На цьому етапі можна запитати, чи можливо для Аліси та Боба виконати своє завдання, навіть не вдаючись до спільного e-біту. Іншими словами, чи є якийсь спосіб передати кубіт, використовуючи лише класичний зв'язок?

Відповідь — ні, неможливо передати квантову інформацію лише за допомогою класичного зв'язку. Це не надто складно довести математично з використанням базової теорії квантової інформації, але ми також можемо виключити можливість передачі кубітів лише за допомогою класичного зв'язку, подумавши про теорему заборони клонування.

Уяви, що існував би спосіб надсилати квантову інформацію лише за допомогою класичного зв'язку. Класичну інформацію легко копіювати та транслювати, що означає, що будь-яка класична передача від Аліси до Боба могла б бути отримана і другим одержувачем (скажімо, Чарлі). Але якщо Чарлі отримає ту ж класичну комунікацію, що й Боб, то хіба він не зміг би також отримати копію кубіта $\mathsf{Q}?$ Це означало б, що $\mathsf{Q}$ було клоновано, що ми вже знаємо як неможливе за теоремою заборони клонування, і тому ми робимо висновок, що немає жодного способу надіслати квантову інформацію лише за допомогою класичного зв'язку.

Однак коли діє припущення, що Аліса та Боб ділять e-бітом, Аліса та Боб можуть виконати своє завдання. Саме це і робить протокол квантової телепортації.

Протокол

Ось квантова схема, що описує протокол телепортації:

Діаграма дещо стилізована тим, що зображує поділ між Алісою та Бобом, із двома діагональними дротами, що представляють класичні біти, які надсилаються від Аліси до Боба, але в іншому — це звичайна квантова схема. Імена кубітів показані над дротами, а не ліворуч, щоб також можна було показати початкові стани (що ми часто робитимемо, коли це зручно). Також слід зазначити, що вентилі $X$ та $Z$ мають класичні керуючі входи, що просто означає: вентилі не застосовуються або застосовуються залежно від того, чи ці класичні керуючі біти дорівнюють $0$ або $1$ відповідно.

Словами протокол телепортації виглядає так:

1. Аліса виконує операцію керованого NOT на парі $(\mathsf{A},\mathsf{Q}),$ де $\mathsf{Q}$ є керуючим, а $\mathsf{A}$ — цільовим, а потім виконує операцію Адамара на $\mathsf{Q}.$

2. Аліса потім вимірює обидва — $\mathsf{A}$ і $\mathsf{Q}$ — за допомогою вимірювання в стандартному базисі в обох випадках і передає класичні результати Бобу. Назвемо результат вимірювання $\mathsf{A}$ як $a$, а результат вимірювання $\mathsf{Q}$ як $b.$

3. Боб отримує $a$ та $b$ від Аліси і залежно від значень цих бітів виконує такі операції:

   • Якщо $a = 1,$ Боб виконує інверсію біта (або вентиль $X$) на своєму кубіті $\mathsf{B}.$
   • Якщо $b = 1,$ Боб виконує інверсію фази (або вентиль $Z$) на своєму кубіті $\mathsf{B}.$

   Тобто, залежно від того, чи $ab$ дорівнює $00,$ $01,$ $10$ або $11,$ Боб виконує одну з операцій $\mathbb{I},$ $Z,$ $X,$ або $ZX$ на кубіті $\mathsf{B}.$

Це повний опис протоколу телепортації. Аналіз, що наведений нижче, показує, що після його виконання кубіт $\mathsf{B}$ перебуватиме в тому стані, в якому $\mathsf{Q}$ був до запуску протоколу, включно з усіма кореляціями з будь-якими іншими системами, — тобто протокол фактично реалізував ідеальний канал передачі кубіта, де стан $\mathsf{Q}$ був "телепортований" у $\mathsf{B}.$

Перш ніж перейти до аналізу, зауваж, що цей протокол не клонує стан $\mathsf{Q},$ що ми вже знаємо як неможливе за теоремою заборони клонування. Натомість, коли протокол завершується, стан кубіта $\mathsf{Q}$ змінюється зі свого початкового значення на $\vert b\rangle$ внаслідок виміру, виконаного над ним. Також зверни увагу, що e-біт фактично "витрачається" в процесі: стан $\mathsf{A}$ змінився на $\vert a\rangle$ і більше не заплутаний з $\mathsf{B}$ (або будь-якою іншою системою). Це і є вартість телепортації.

Аналіз

Щоб проаналізувати протокол телепортації, ми розглянемо поведінку описаної вище схеми крок за кроком, починаючи з ситуації, коли $\mathsf{Q}$ спочатку перебуває в стані $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle.$ Це не найзагальніша ситуація, оскільки вона не охоплює можливість того, що $\mathsf{Q}$ заплутаний з іншими системами, але початок із цього простішого випадку додасть ясності аналізу. Більш загальний випадок розглядається нижче, після аналізу простішого випадку.

Зокрема, ми розглядатимемо стани кубітів $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ у моменти часу, які вказані на цій схемі:

За умови, що кубіт $\mathsf{Q}$ починає протокол у стані $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle,$ стан трьох кубітів $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ разом на початку протоколу є таким:

$$\vert \pi_0 \rangle = \vert \phi^+\rangle \otimes \bigl(\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle \bigr) = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 110\rangle + \beta \vert 001\rangle + \beta \vert 111\rangle}{\sqrt{2}}.$$

Перший вентиль, що застосовується, — це вентиль керованого NOT, який перетворює стан $\vert\pi_0\rangle$ на

$$\vert \pi_1 \rangle = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 110\rangle + \beta \vert 011\rangle + \beta \vert 101\rangle}{\sqrt{2}}.$$

Потім застосовується вентиль Адамара, який перетворює стан $\vert\pi_1\rangle$ на

$$\begin{aligned} \vert\pi_2\rangle & = \frac{\alpha \vert 00\rangle \vert + \rangle + \alpha \vert 11\rangle\vert +\rangle + \beta \vert 01\rangle\vert -\rangle + \beta \vert 10\rangle\vert -\rangle}{\sqrt{2}}\\[2mm] & = \frac{\alpha \vert 000 \rangle + \alpha \vert 001 \rangle + \alpha \vert 110 \rangle + \alpha \vert 111 \rangle + \beta \vert 010 \rangle - \beta \vert 011 \rangle + \beta \vert 100 \rangle - \beta \vert 101 \rangle}{2}. \end{aligned}$$

Використовуючи мультилінійність тензорного добутку, цей стан можна записати інакше:

$$\begin{aligned} \vert\pi_2\rangle = \quad & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 0 \rangle + \beta \vert 1\rangle \bigr)\vert 00\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 0 \rangle - \beta \vert 1\rangle \bigr)\vert 01\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 1 \rangle + \beta \vert 0\rangle \bigr)\vert 10\rangle \\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl(\alpha\vert 1 \rangle - \beta \vert 0\rangle \bigr)\vert 11\rangle. \end{aligned}$$

На перший погляд, може здатися, що сталося щось магічне, оскільки крайній лівий кубіт $\mathsf{B}$ тепер, здається, залежить від чисел $\alpha$ та $\beta,$ хоча від Аліси до Боба ще не було жодної комунікації. Це ілюзія. Скаляри вільно проходять через тензорні добутки, тому $\alpha$ та $\beta$ не більше і не менше пов'язані з крайнім лівим кубітом, ніж з іншими кубітами, і все, що ми зробили, — це використали алгебру для вираження стану так, щоб полегшити аналіз вимірювань.

Тепер розглянемо чотири можливі результати вимірювань Аліси в стандартному базисі разом із діями, які виконує Боб у відповідь.

Можливі результати

• Результат вимірювання Аліси дорівнює $aq = 00$ з імовірністю

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  і тоді стан $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ набуває вигляду

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 00 \rangle.$$

  У цьому випадку Боб нічого не робить, і тому це є кінцевим станом цих трьох кубітів.

• Результат вимірювання Аліси дорівнює $aq = 01$ з імовірністю

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 0\rangle - \beta\vert 1\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert{-\beta}\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  і тоді стан $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ набуває вигляду

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle - \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 01 \rangle.$$

  У цьому випадку Боб застосовує вентиль $Z$ до $\mathsf{B},$ залишаючи $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ у стані

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 01 \rangle.$$

• Результат вимірювання Аліси дорівнює $aq = 10$ з імовірністю

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 1\rangle + \beta\vert 0\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert\beta\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  і тоді стан $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ набуває вигляду

  $$\bigl( \alpha \vert 1 \rangle + \beta \vert 0 \rangle \bigr) \vert 10 \rangle.$$

  У цьому випадку Боб застосовує вентиль $X$ до кубіта $\mathsf{B},$ залишаючи $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ у стані

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 10 \rangle.$$

• Результат вимірювання Аліси дорівнює $aq = 11$ з імовірністю

  $$\Biggl\| \frac{1}{2}\bigl(\alpha \vert 1\rangle - \beta\vert 0\rangle\bigr) \Biggr\|^2 = \frac{\vert\alpha\vert^2 + \vert{-\beta}\vert^2}{4} = \frac{1}{4},$$

  і тоді стан $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ набуває вигляду

  $$\bigl( \alpha \vert 1 \rangle - \beta \vert 0 \rangle \bigr) \vert 11 \rangle.$$

  У цьому випадку Боб виконує операцію $ZX$ на кубіті $\mathsf{B},$ залишаючи $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ у стані

  $$\bigl( \alpha \vert 0 \rangle + \beta \vert 1 \rangle \bigr) \vert 11 \rangle.$$

Тепер ми бачимо, що в усіх чотирьох випадках кубіт $\mathsf{B}$ Боба залишається в стані $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ наприкінці протоколу, що є початковим станом кубіта $\mathsf{Q}.$ Це те, що ми хотіли показати: протокол телепортації спрацював правильно.

Ми також бачимо, що кубіти $\mathsf{A}$ та $\mathsf{Q}$ залишаються в одному з чотирьох станів $\vert 00\rangle,$ $\vert 01\rangle,$ $\vert 10\rangle$ або $\vert 11\rangle,$ кожен з імовірністю $1/4,$ залежно від результатів вимірювань, отриманих Алісою. Отже, як вже зазначалося вище, наприкінці протоколу Аліса більше не має стану $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle,$ що відповідає теоремі заборони клонування.

Зверни увагу, що вимірювання Аліси не дають абсолютно жодної інформації про стан $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ Тобто ймовірність кожного з чотирьох можливих результатів вимірювання дорівнює $1/4$ незалежно від $\alpha$ та $\beta.$ Це також є суттєвим для правильної роботи телепортації. Вилучення інформації з невідомого квантового стану загалом неминуче його порушує, але тут Боб отримує стан без жодних порушень.

Тепер розглянемо більш загальну ситуацію, в якій кубіт $\mathsf{Q}$ спочатку заплутаний з іншою системою, яку ми назвемо $\mathsf{R}.$ Подібний аналіз до наведеного вище показує, що протокол телепортації функціонує правильно і в цьому більш загальному випадку: наприкінці протоколу кубіт $\mathsf{B}$ у Боба заплутаний з $\mathsf{R}$ так само, як $\mathsf{Q}$ був на початку протоколу, ніби Аліса просто передала $\mathsf{Q}$ Бобу.

Щоб довести це, припустимо, що стан пари $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ спочатку задається вектором квантового стану вигляду

$$\alpha \vert 0 \rangle_{\mathsf{Q}} \vert \gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1 \rangle_{\mathsf{Q}} \vert \gamma_1\rangle_{\mathsf{R}},$$

де $\vert\gamma_0\rangle$ та $\vert\gamma_1\rangle$ — вектори квантового стану системи $\mathsf{R},$ а $\alpha$ та $\beta$ — комплексні числа, що задовольняють умову $\vert \alpha \vert^2 + \vert\beta\vert^2 = 1.$ Будь-який вектор квантового стану пари $(\mathsf{Q},\mathsf{R})$ може бути виражений таким чином.

Наступна схема зображує ту ж схему, що і раніше, з додаванням системи $\mathsf{R}$ (представленої набором кубітів у верхній частині діаграми, з якими нічого не відбувається).

Для аналізу того, що відбувається під час запуску протоколу телепортації, корисно переставити системи, аналогічно до того, що описано в попередньому уроці. Зокрема, ми розглядатимемо стан систем у порядку $(\mathsf{B},\mathsf{R},\mathsf{A},\mathsf{Q})$ замість $(\mathsf{B},\mathsf{A},\mathsf{Q},\mathsf{R}).$ Імена різних систем включені як нижні індекси у наступних виразах для ясності.

На початку протоколу стан цих систем виглядає так:

$$\begin{aligned} \vert \pi_0\rangle & = \vert \phi^+\rangle_{\mathsf{BA}} \otimes \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{Q}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{Q}}\vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}}\bigr)\\[1mm] & = \frac{ \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 00 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 10 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 01 \rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert \gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 11 \rangle_{\mathsf{AQ}}}{\sqrt{2}}. \end{aligned}$$

Спочатку застосовується вентиль керованого NOT, що перетворює цей стан на

$$\vert\pi_1\rangle = \frac{ \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 00\rangle_{\mathsf{AQ}} + \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 10\rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 11\rangle_{\mathsf{AQ}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1 \rangle_{\mathsf{R}} \vert 01\rangle_{\mathsf{AQ}}}{\sqrt{2}}.$$

Потім застосовується вентиль Адамара. Після розкладання та спрощення отриманого стану, аналогічно до аналізу простішого випадку вище, ми отримуємо такий вираз для результуючого стану:

$$\begin{aligned} \vert \pi_2 \rangle = \quad & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 00\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} - \beta \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 01\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} + \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 10\rangle_{\mathsf{AQ}}\\[2mm] + & \frac{1}{2} \bigl( \alpha \vert 1\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_0\rangle_{\mathsf{R}} - \beta \vert 0\rangle_{\mathsf{B}} \vert\gamma_1\rangle_{\mathsf{R}} \bigr) \vert 11\rangle_{\mathsf{AQ}}. \end{aligned}$$

Діючи точно так само, як і раніше, де ми розглядаємо чотири різні можливі результати вимірювань Аліси разом із відповідними діями Боба, ми виявляємо, що наприкінці протоколу стан $(\mathsf{B},\mathsf{R})$ завжди дорівнює

$$\alpha \vert 0 \rangle \vert \gamma_0\rangle + \beta \vert 1 \rangle \vert \gamma_1\rangle.$$

Неформально кажучи, аналіз не змінюється суттєво порівняно з простішим випадком вище; $\vert\gamma_0\rangle$ та $\vert\gamma_1\rangle$ фактично просто "їдуть разом". Отже, телепортація успішно створює ідеальний квантовий канал зв'язку, фактично передаючи вміст кубіта $\mathsf{Q}$ у $\mathsf{B}$ та зберігаючи всі кореляції з іншими системами.

Насправді це зовсім не дивно, враховуючи аналіз простішого випадку вище. Як показав той аналіз, ми маємо фізичний процес, який діє як тотожна операція на кубіті у довільному квантовому стані, а це може відбутися лише одним способом: операція, реалізована протоколом, мусить бути тотожною операцією. Тобто, як тільки ми знаємо, що телепортація правильно працює для одного кубіта ізольовано, ми можемо зробити висновок, що протокол фактично реалізує ідеальний, без шумів квантовий канал, і тому він повинен правильно працювати, навіть якщо вхідний кубіт заплутаний з іншою системою.

Додаткове обговорення

Ось кілька коротких завершальних зауважень про телепортацію.

По-перше, телепортація — це не застосування квантової інформації, а протокол для здійснення квантового зв'язку. Тому вона корисна рівно настільки, наскільки корисний квантовий зв'язок.

Справді, можна з достатніми підставами припустити, що телепортація може колись стати стандартним способом передачі квантової інформації, можливо, через процес, відомий як дистиляція заплутаності. Це процес, який перетворює більшу кількість шумних (або недосконалих) e-бітів на меншу кількість e-бітів високої якості, які потім можна використовувати для безшумної або майже безшумної телепортації. Ідея полягає в тому, що процес дистиляції заплутаності є не таким делікатним, як пряма квантова комунікація. Ми можемо погодитися на втрати, наприклад, і якщо процес не спрацює, ми можемо просто спробувати ще раз. На відміну від цього, самі кубіти, які ми сподіваємося передати, можуть бути набагато ціннішими.

Нарешті, слід розуміти, що ідея, що лежить в основі телепортації, і те, як вона працює, є досить фундаментальними в квантовій інформації та обчисленнях. Це справді наріжний камінь теорії квантової інформації, і виникають різні її варіації. Наприклад, квантові вентилі можна реалізовувати за допомогою тісно пов'язаного процесу, відомого як телепортація квантових вентилів, яка використовує телепортацію для застосування операцій до кубітів, а не для їх передачі.