Квантове моделювання

примітка

Yukio Kawashima (30 травня 2024 р.)

Завантажити PDF оригінальної лекції. Зверни увагу, що деякі фрагменти коду могуть бути застарілими, оскільки це статичні зображення.

Орієнтовний час QPU для цього експерименту — 7 секунд.

(Цей ноутбук переважно базується на нині застарілому навчальному ноутбуці для Qiskit Algorithms.)

1. Вступ

Тротеризація — це техніка еволюції в реальному часі, що полягає в послідовному застосуванні одного або кількох квантових вентилів, обраних для наближення часової еволюції системи на малому часовому кроці. Відповідно до рівняння Шрьодінгера, часова еволюція системи, яка початково перебуває у стані $\vert\psi(0)\rangle$, має вигляд:

$$\vert \psi(t) \rangle = e^{-i H t} \vert \psi(0) \rangle \text{,}$$

де $H$ — незалежний від часу гамільтоніан, що описує систему. Розглянемо гамільтоніан, який можна записати як зважену суму термів Паулі $H=\sum_j a_j P_j$, де $P_j$ — тензорний добуток термів Паулі, що діє на $n$ Qubit-ах. Зокрема, ці терми Паулі можуть комутувати між собою, а можуть і ні. Маючи стан при $t=0$, як отримати стан системи в пізніший момент $|\psi(t)\rangle$ за допомогою квантового комп'ютера? Найпростіше зрозуміти експоненту оператора через її ряд Тейлора:

$$e^{-i H t} = 1-iHt-\frac{1}{2}H^2t^2+...$$

Деякі прості експоненти, наприклад $e^{iZ}$, легко реалізувати на квантових комп'ютерах за допомогою невеликого набору квантових вентилів. Більшість гамільтоніанів, що становлять практичний інтерес, матимуть не один терм, а багато. Зауваж, що відбувається, якщо $H = H_1+H_2$:

$$e^{-i H t} = 1-i(H_1+H_2)t-\frac{1}{2}(H_1+H_2)^2t^2+...$$

Коли $H_1$ та $H_2$ комутують, маємо звичний випадок (справедливий і для чисел, а також змінних $a$ та $b$ нижче):

$$e^{-i (a+b) t} = e^{-i a t}e^{-i b t}$$

Але коли оператори не комутують, терми не можна переставляти в ряді Тейлора для подібного спрощення. Тому вираження складних гамільтоніанів через квантові вентилі є нетривіальною задачею.

Одне з рішень — розглядати дуже малий час $t$, при якому домінує терм першого порядку в розкладі Тейлора. За такого припущення:

$$e^{-i (H_1+H_2) t} \approx 1-i(H_1+H_2)t \approx (1-i H_1 t)(1-i H_2 t) \approx e^{-i H_1 t}e^{-i H_2 t}$$

Звісно, може знадобитися еволюціонувати стан протягом більшого часу. Це досягається шляхом застосування багатьох таких малих кроків. Цей процес називається тротеризацією:

$$\vert \psi(t) \rangle \approx \left(\prod_j e^{-i a_j P_j t/r} \right)^r \vert\psi(0) \rangle \text{,}$$

Тут $t/r$ — це часовий крок (крок еволюції), який ми обираємо. В результаті створюється вентиль, що застосовується $r$ разів. Менший часовий крок дає точніше наближення. Проте це також призводить до глибших схем, що на практиці збільшує накопичення похибок (суттєве питання для квантових пристроїв найближчого покоління).

Сьогодні ми досліджуватимемо часову еволюцію моделі Ізінга на лінійних гратках із $N=2$ та $N=6$ вузлами. Ці гратки складаються з масиву спінів $\sigma_i$, що взаємодіють лише з найближчими сусідами. Ці спіни можуть мати два орієнтації: $\uparrow$ та $\downarrow$, що відповідають намагніченості $+1$ та $-1$ відповідно.

$$H = - J \sum_{i=0}^{N-2} Z_i Z_{i+1} - h \sum_{i=0}^{N-1} X_i \text{,}$$

де $J$ описує енергію взаємодії, а $h$ — величину зовнішнього поля (у напрямку x, але ми це змінимо). Запишемо цей вираз через матриці Паулі, вважаючи, що зовнішнє поле утворює кут $\alpha$ з поперечним напрямком:

$$H = -J \sum_{i=0}^{N-2} Z_i Z_{i+1} -h \sum_{i=0}^{N-1} (\sin\alpha Z_i + \cos\alpha X_i) \text{.}$$

Цей гамільтоніан зручний тим, що дозволяє легко вивчати вплив зовнішнього поля. У обчислювальному базисі система кодується так:

Квантовий стан	Спінове представлення
$\lvert 0 0 0 0 \rangle$	$\uparrow\uparrow\uparrow\uparrow$
$\lvert 1 0 0 0 \rangle$	$\downarrow\uparrow\uparrow\uparrow$
$\ldots$	$\ldots$
$\lvert 1 1 1 1 \rangle$	$\downarrow\downarrow\downarrow\downarrow$

Ми розпочнемо дослідження часової еволюції такої квантової системи. Зокрема, ми візуалізуємо часову еволюцію певних властивостей системи, таких як намагніченість.

1.1 Вимоги

Перед початком цього навчального матеріалу переконайся, що встановлено наступне:

• Qiskit SDK v1.2 або новіший ( pip install qiskit )
• Qiskit Runtime v0.30 або новіший ( pip install qiskit-ibm-runtime )
• Numpy v1.24.1 або новіший < 2 ( pip install numpy )

1.2 Імпорт бібліотек

Зверни увагу, що деякі бібліотеки, які можуть стати в пригоді (MatrixExponential, QDrift), включено, хоча в цьому ноутбуці вони не використовуються. Спробуй їх, якщо матимеш час!

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit qiskit-ibm-runtime

# Check the version of Qiskit
import qiskit

qiskit.__version__

'2.0.2'

# Import the qiskit library
import numpy as np
import matplotlib.pylab as plt
import warnings

from qiskit import QuantumCircuit
from qiskit.circuit.library import PauliEvolutionGate
from qiskit.primitives import StatevectorEstimator
from qiskit.quantum_info import Statevector, SparsePauliOp
from qiskit.synthesis import (
    SuzukiTrotter,
    LieTrotter,
)
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService, SamplerV2

warnings.filterwarnings("ignore")

2. Формалізація задачі

2.1 Визначення гамільтоніана Ізінга з поперечним полем

Тут ми розглядаємо одновимірну модель Ізінга з поперечним полем.

Спочатку створимо функцію, яка приймає параметри системи $N$, $J$, $h$ та $\alpha$ і повертає наш гамільтоніан у вигляді SparsePauliOp. SparsePauliOp — це розріджене представлення оператора у вигляді зважених термів Pauli.

def get_hamiltonian(nqubits, J, h, alpha):
    # List of Hamiltonian terms as 3-tuples containing
    # (1) the Pauli string,
    # (2) the qubit indices corresponding to the Pauli string,
    # (3) the coefficient.
    ZZ_tuples = [("ZZ", [i, i + 1], -J) for i in range(0, nqubits - 1)]
    Z_tuples = [("Z", [i], -h * np.sin(alpha)) for i in range(0, nqubits)]
    X_tuples = [("X", [i], -h * np.cos(alpha)) for i in range(0, nqubits)]

    # We create the Hamiltonian as a SparsePauliOp, via the method
    # `from_sparse_list`, and multiply by the interaction term.
    hamiltonian = SparsePauliOp.from_sparse_list(
        [*ZZ_tuples, *Z_tuples, *X_tuples], num_qubits=nqubits
    )
    return hamiltonian.simplify()

Визначення гамільтоніана

Система, яку ми розглядаємо, має розмір $N=6$, $J=0.2$, $h=1.2$ та $\alpha=\frac{\pi}{8.0}$ як приклад.

n_qubits = 6

hamiltonian = get_hamiltonian(nqubits=n_qubits, J=0.2, h=1.2, alpha=np.pi / 8.0)
hamiltonian

SparsePauliOp(['IIIIZZ', 'IIIZZI', 'IIZZII', 'IZZIII', 'ZZIIII', 'IIIIIZ', 'IIIIZI', 'IIIZII', 'IIZIII', 'IZIIII', 'ZIIIII', 'IIIIIX', 'IIIIXI', 'IIIXII', 'IIXIII', 'IXIIII', 'XIIIII'],
              coeffs=[-0.2       +0.j, -0.2       +0.j, -0.2       +0.j, -0.2       +0.j,
 -0.2       +0.j, -0.45922012+0.j, -0.45922012+0.j, -0.45922012+0.j,
 -0.45922012+0.j, -0.45922012+0.j, -0.45922012+0.j, -1.10865544+0.j,
 -1.10865544+0.j, -1.10865544+0.j, -1.10865544+0.j, -1.10865544+0.j,
 -1.10865544+0.j])

2.2 Встановлення параметрів симуляції часової еволюції

Тут ми розглянемо три різні техніки тротеризації:

• Ліє–Троттер (перший порядок)
• Судзукі–Троттер другого порядку
• Судзукі–Троттер четвертого порядку

Два останні використовуватимуться у вправі та в додатку.

num_timesteps = 60
evolution_time = 30.0
dt = evolution_time / num_timesteps
product_formula_lt = LieTrotter()
product_formula_st2 = SuzukiTrotter(order=2)
product_formula_st4 = SuzukiTrotter(order=4)

2.3 Підготовка квантової схеми 1 (початковий стан)

Створимо початковий стан. Тут ми починатимемо зі спінової конфігурації $\uparrow\uparrow\downarrow\downarrow\uparrow\uparrow$.

initial_circuit = QuantumCircuit(n_qubits)
initial_circuit.prepare_state("001100")
# Change reps and see the difference when you decompose the circuit
initial_circuit.decompose(reps=1).draw("mpl")

2.4 Підготовка квантової схеми 2 (окрема схема для часової еволюції)

Тут ми будуємо схему для одного часового кроку з використанням Ліє–Троттера.

Формула добутку Ліє (перший порядок) реалізована у класі LieTrotter. Формула першого порядку являє собою наближення, описане у вступі, де матрична експонента суми апроксимується добутком матричних експонент:

$$e^{H_1+H_2} \approx e^{H_1} e^{H_2}$$

Як уже зазначалося, дуже глибокі схеми призводять до накопичення похибок і спричиняють проблеми для сучасних квантових комп'ютерів. Оскільки двокубітні вентилі мають вищий рівень похибок, ніж однокубітні, особливого значення набуває глибина двокубітної схеми. Насправді важливою є глибина двокубітної схеми після транспіляції (бо саме цю схему виконує квантовий комп'ютер). Але привчімося рахувати операції для цієї схеми вже зараз, навіть використовуючи симулятор.

single_step_evolution_gates_lt = PauliEvolutionGate(
    hamiltonian, dt, synthesis=product_formula_lt
)
single_step_evolution_lt = QuantumCircuit(n_qubits)
single_step_evolution_lt.append(
    single_step_evolution_gates_lt, single_step_evolution_lt.qubits
)

print(
    f"""
Trotter step with Lie-Trotter
-----------------------------
Depth: {single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).depth()}
Gate count: {len(single_step_evolution_lt.decompose(reps=3))}
Nonlocal gate count: {single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).num_nonlocal_gates()}
Gate breakdown: {", ".join([f"{k.upper()}: {v}" for k, v in single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).count_ops().items()])}
"""
)
single_step_evolution_lt.decompose(reps=3).draw("mpl", fold=-1)

Trotter step with Lie-Trotter
-----------------------------
Depth: 17
Gate count: 27
Nonlocal gate count: 10
Gate breakdown: U3: 12, CX: 10, U1: 5

2.5 Визначення операторів для вимірювання

Визначимо оператор намагніченості $\sum_i \langle Z_i \rangle / N$ та оператор середньої спінової кореляції $\sum_i \langle Z_i Z_{i+1} \rangle/ (N - 1)$.

magnetization = (
    SparsePauliOp.from_sparse_list(
        [("Z", [i], 1.0) for i in range(0, n_qubits)], num_qubits=n_qubits
    )
    / n_qubits
)
correlation = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("ZZ", [i, i + 1], 1.0) for i in range(0, n_qubits - 1)], num_qubits=n_qubits
) / (n_qubits - 1)
print("magnetization : ", magnetization)
print("correlation : ", correlation)

magnetization :  SparsePauliOp(['IIIIIZ', 'IIIIZI', 'IIIZII', 'IIZIII', 'IZIIII', 'ZIIIII'],
              coeffs=[0.16666667+0.j, 0.16666667+0.j, 0.16666667+0.j, 0.16666667+0.j,
 0.16666667+0.j, 0.16666667+0.j])
correlation :  SparsePauliOp(['IIIIZZ', 'IIIZZI', 'IIZZII', 'IZZIII', 'ZZIIII'],
              coeffs=[0.2+0.j, 0.2+0.j, 0.2+0.j, 0.2+0.j, 0.2+0.j])

2.6 Виконання симуляції часової еволюції

Ми відстежуватимемо енергію (математичне сподівання гамільтоніана), намагніченість (математичне сподівання оператора намагніченості) та середню спінову кореляцію (математичне сподівання оператора середньої спінової кореляції). Примітив StatevectorEstimator (EstimatorV2) з Qiskit обчислює математичні сподівання спостережуваних, $\langle\psi\vert\hat{O}\vert\psi\rangle$.

# Initiate the circuit
evolved_state = QuantumCircuit(initial_circuit.num_qubits)
# Start from the initial spin configuration
evolved_state.append(initial_circuit, evolved_state.qubits)
# Initiate Estimator (V2)
estimator = StatevectorEstimator()
# Set number of shots
shots = 10000
# Translate the precision required from the number of shots
precision = np.sqrt(1 / shots)
energy_list = []
mag_list = []
corr_list = []
# Estimate expectation values for t=0.0
job = estimator.run(
    [(evolved_state, [hamiltonian, magnetization, correlation])], precision=precision
)
# Get estimated expectation values
evs = job.result()[0].data.evs
energy_list.append(evs[0])
mag_list.append(evs[1])
corr_list.append(evs[2])
# Start time evolution
for n in range(num_timesteps):
    # Expand the circuit to describe delta-t
    evolved_state.append(single_step_evolution_gates_lt, evolved_state.qubits)
    # Estimate expectation values at delta-t
    job = estimator.run(
        [(evolved_state, [hamiltonian, magnetization, correlation])],
        precision=precision,
    )
    # Retrieve results (expectation values)
    evs = job.result()[0].data.evs
    energy_list.append(evs[0])
    mag_list.append(evs[1])
    corr_list.append(evs[2])
# Transform the list of expectation values (at each time step) to arrays
energy_array = np.array(energy_list)
mag_array = np.array(mag_list)
corr_array = np.array(corr_list)

2.7 Побудова графіків часової еволюції спостережуваних

Будуємо графіки виміряних математичних сподівань у залежності від часу.

fig, axes = plt.subplots(3, sharex=True)
times = np.linspace(0, evolution_time, num_timesteps + 1)  # includes initial state
axes[0].plot(
    times,
    energy_array,
    label="First order",
    marker="x",
    c="darkmagenta",
    ls="-",
    lw=0.8,
)
axes[1].plot(
    times, mag_array, label="First order", marker="x", c="darkmagenta", ls="-", lw=0.8
)
axes[2].plot(
    times, corr_array, label="First order", marker="x", c="darkmagenta", ls="-", lw=0.8
)
axes[0].set_ylabel("Energy")
axes[1].set_ylabel("Magnetization")
axes[2].set_ylabel("Mean spin correlation")
axes[2].set_xlabel("Time")
fig.suptitle("Observable evolution")

Text(0.5, 0.98, 'Observable evolution')

3. Вправа 1. Виконання симуляції з використанням Судзукі–Троттера другого порядку

Тепер спробуймо виконати симуляцію з Судзукі–Троттером другого порядку, наслідуючи приклад Ліє–Троттера, показаний вище.

Судзукі–Троттер другого порядку можна використовувати в Qiskit за допомогою класу SuzukiTrotter. За цією формулою розкладення другого порядку має вигляд:

$$e^{H_1+H_2} \approx e^{H_1/2}e^{H_2}e^{H_1/2}$$

3.1 Побудова схеми для одного часового кроку

Використай product_formula_st2 (SuzukiTrotter(order=2)) і побудуй схему для одного часового кроку з Судзукі–Троттером другого порядку. Також підрахуй кількість вентилів і глибину схеми та порівняй з Ліє–Троттером.

# Modify the line below (Use PauliEvolutionGate)
single_step_evolution_gates_st2 = PauliEvolutionGate(
    hamiltonian, dt, synthesis=product_formula_st2
)
single_step_evolution_st2 = QuantumCircuit(n_qubits)
single_step_evolution_st2.append(
    single_step_evolution_gates_st2, single_step_evolution_st2.qubits
)
# Let us print some stats
print(
    f"""
Trotter step with second-order Suzuki-Trotter
-----------------------------
Depth: {single_step_evolution_st2.decompose(reps=3).depth()}
Gate count: {len(single_step_evolution_st2.decompose(reps=3))}
Nonlocal gate count: {single_step_evolution_st2.decompose(reps=3).num_nonlocal_gates()}
Gate breakdown: {", ".join([f"{k.upper()}: {v}" for k, v in single_step_evolution_st2.decompose(reps=3).count_ops().items()])}
"""
)
single_step_evolution_st2.decompose(reps=2).draw("mpl", fold=-1)

Trotter step with second-order Suzuki-Trotter
-----------------------------
Depth: 34
Gate count: 53
Nonlocal gate count: 20
Gate breakdown: U3: 23, CX: 20, U1: 10

3.2 Виконай симуляцію часової еволюції

Виконай часову еволюцію за допомогою формули Сузукі–Троттера другого порядку.

# Initiate the circuit
evolved_state = QuantumCircuit(initial_circuit.num_qubits)
# Start from the initial spin configuration
evolved_state.append(initial_circuit, evolved_state.qubits)
# Initiate Estimator (V2)
estimator = StatevectorEstimator()
# Set number of shots
shots = 10000
# Translate the precision required from the number of shots
precision = np.sqrt(1 / shots)
energy_list_st2 = []
mag_list_st2 = []
corr_list_st2 = []
# Estimate expectation values for t=0.0
job = estimator.run(
    [(evolved_state, [hamiltonian, magnetization, correlation])], precision=precision
)
# Get estimated expectation values
evs = job.result()[0].data.evs
energy_list_st2.append(evs[0])
mag_list_st2.append(evs[1])
corr_list_st2.append(evs[2])
# Start time evolution
for n in range(num_timesteps):
    # Expand the circuit to describe delta-t
    evolved_state.append(single_step_evolution_gates_st2, evolved_state.qubits)
    # Estimate expectation values at delta-t
    job = estimator.run(
        [(evolved_state, [hamiltonian, magnetization, correlation])],
        precision=precision,
    )
    # Retrieve results (expectation values)
    evs = job.result()[0].data.evs
    energy_list_st2.append(evs[0])
    mag_list_st2.append(evs[1])
    corr_list_st2.append(evs[2])
# Transform the list of expectation values (at each time step) to arrays
energy_array_st2 = np.array(energy_list_st2)
mag_array_st2 = np.array(mag_list_st2)
corr_array_st2 = np.array(corr_list_st2)

3.3 Побудуй графіки результатів формули Сузукі–Троттера другого порядку

axes[0].plot(
    times,
    energy_array_st2,
    label="Second Order",
    marker="x",
    c="limegreen",
    ls="-",
    lw=0.8,
)
axes[1].plot(
    times,
    mag_array_st2,
    label="Second Order",
    marker="x",
    c="limegreen",
    ls="-",
    lw=0.8,
)
axes[2].plot(
    times,
    corr_array_st2,
    label="Second Order",
    marker="x",
    c="limegreen",
    ls="-",
    lw=0.8,
)

# Replace the legend
# legend.remove()
legend = fig.legend(
    *axes[0].get_legend_handles_labels(),
    bbox_to_anchor=(1.0, 0.5),
    loc="center left",
    framealpha=0.5,
)
fig

3.4 Порівняй з точними результатами

Наведені нижче дані — це заздалегідь обчислені точні результати з класичного комп'ютера.

exact_times = np.array(
    [
        0.0,
        0.3,
        0.6,
        0.8999999999999999,
        1.2,
        1.5,
        1.7999999999999998,
        2.1,
        2.4,
        2.6999999999999997,
        3.0,
        3.3,
        3.5999999999999996,
        3.9,
        4.2,
        4.5,
        4.8,
        5.1,
        5.3999999999999995,
        5.7,
        6.0,
        6.3,
        6.6,
        6.8999999999999995,
        7.199999999999999,
        7.5,
        7.8,
        8.1,
        8.4,
        8.7,
        9.0,
        9.299999999999999,
        9.6,
        9.9,
        10.2,
        10.5,
        10.799999999999999,
        11.1,
        11.4,
        11.7,
        12.0,
        12.299999999999999,
        12.6,
        12.9,
        13.2,
        13.5,
        13.799999999999999,
        14.1,
        14.399999999999999,
        14.7,
        15.0,
        15.299999999999999,
        15.6,
        15.899999999999999,
        16.2,
        16.5,
        16.8,
        17.099999999999998,
        17.4,
        17.7,
        18.0,
        18.3,
        18.599999999999998,
        18.9,
        19.2,
        19.5,
        19.8,
        20.099999999999998,
        20.4,
        20.7,
        21.0,
        21.3,
        21.599999999999998,
        21.9,
        22.2,
        22.5,
        22.8,
        23.099999999999998,
        23.4,
        23.7,
        24.0,
        24.3,
        24.599999999999998,
        24.9,
        25.2,
        25.5,
        25.8,
        26.099999999999998,
        26.4,
        26.7,
        27.0,
        27.3,
        27.599999999999998,
        27.9,
        28.2,
        28.5,
        28.799999999999997,
        29.099999999999998,
        29.4,
        29.7,
        30.0,
    ]
)
exact_energy = np.array(
    [
        -1.1184402376762155,
        -1.1184402376762157,
        -1.1184402376762157,
        -1.1184402376762148,
        -1.1184402376762153,
        -1.1184402376762155,
        -1.1184402376762148,
        -1.118440237676216,
        -1.118440237676216,
        -1.1184402376762166,
        -1.1184402376762148,
        -1.118440237676216,
        -1.1184402376762153,
        -1.1184402376762148,
        -1.118440237676217,
        -1.118440237676215,
        -1.1184402376762161,
        -1.1184402376762157,
        -1.118440237676217,
        -1.1184402376762161,
        -1.1184402376762137,
        -1.1184402376762161,
        -1.1184402376762161,
        -1.118440237676218,
        -1.1184402376762155,
        -1.1184402376762166,
        -1.1184402376762155,
        -1.1184402376762137,
        -1.1184402376762186,
        -1.1184402376762215,
        -1.1184402376762148,
        -1.118440237676216,
        -1.1184402376762166,
        -1.1184402376762148,
        -1.1184402376762121,
        -1.1184402376762166,
        -1.1184402376762181,
        -1.1184402376762137,
        -1.1184402376762148,
        -1.1184402376762193,
        -1.1184402376762108,
        -1.1184402376762144,
        -1.118440237676217,
        -1.1184402376762197,
        -1.1184402376762153,
        -1.1184402376762161,
        -1.1184402376762184,
        -1.1184402376762126,
        -1.118440237676214,
        -1.118440237676214,
        -1.1184402376762161,
        -1.118440237676212,
        -1.1184402376762164,
        -1.118440237676217,
        -1.1184402376762121,
        -1.1184402376762157,
        -1.1184402376762212,
        -1.1184402376762217,
        -1.1184402376762206,
        -1.118440237676222,
        -1.1184402376762166,
        -1.118440237676212,
        -1.1184402376762137,
        -1.11844023767622,
        -1.1184402376762206,
        -1.118440237676219,
        -1.1184402376762153,
        -1.1184402376762164,
        -1.118440237676209,
        -1.1184402376762144,
        -1.1184402376762161,
        -1.118440237676216,
        -1.1184402376762173,
        -1.118440237676214,
        -1.1184402376762093,
        -1.1184402376762184,
        -1.1184402376762126,
        -1.118440237676213,
        -1.1184402376762195,
        -1.1184402376762095,
        -1.1184402376762075,
        -1.1184402376762197,
        -1.1184402376762141,
        -1.1184402376762146,
        -1.1184402376762184,
        -1.118440237676218,
        -1.1184402376762224,
        -1.118440237676219,
        -1.118440237676218,
        -1.1184402376762206,
        -1.1184402376762168,
        -1.118440237676221,
        -1.118440237676218,
        -1.1184402376762148,
        -1.1184402376762106,
        -1.1184402376762173,
        -1.118440237676216,
        -1.118440237676216,
        -1.1184402376762113,
        -1.1184402376762275,
        -1.1184402376762195,
    ]
)
exact_magnetization = np.array(
    [
        0.3333333333333333,
        0.26316769633415005,
        0.0912947227110664,
        -0.09317712543141576,
        -0.20391854332115245,
        -0.19318196655046493,
        -0.06411527074401464,
        0.12558269854206197,
        0.28252754464640606,
        0.3264196194042506,
        0.2361586169847769,
        0.060894367906122224,
        -0.10842387093076275,
        -0.18636359582538073,
        -0.1338364343947887,
        0.020284606520827753,
        0.19151142743926025,
        0.2905341647678381,
        0.2723014646745304,
        0.15147481733047252,
        -0.008179102877790292,
        -0.1242999208732406,
        -0.1372529247781061,
        -0.04083616185958952,
        0.11066094926716476,
        0.23140661570567636,
        0.2587109403786205,
        0.1868237670027325,
        0.061201779383143744,
        -0.051391248969654205,
        -0.09843899603365061,
        -0.061297056158849166,
        0.04199010081939773,
        0.15861461430963147,
        0.22336830674799552,
        0.20179555623336537,
        0.11407111438609417,
        0.01609419104778282,
        -0.04239611796730001,
        -0.04249123521065924,
        0.008850291714888112,
        0.08780898151558082,
        0.1561486776507056,
        0.17627348772811832,
        0.13870676179652253,
        0.07205869195282538,
        0.018300003064909465,
        0.0001095640839572417,
        0.015157929316037586,
        0.05077755280969454,
        0.09245534457650838,
        0.12206907551110702,
        0.12284950557969157,
        0.09570215398601932,
        0.06294378255078983,
        0.045503313813986014,
        0.043389819499542556,
        0.046725117769796744,
        0.054956411358382404,
        0.0713814528253614,
        0.08743689703248492,
        0.08951216359166674,
        0.07878386475305985,
        0.06955669116405788,
        0.06639892435963689,
        0.05890378761746903,
        0.04541796525844558,
        0.0414221088331947,
        0.05499634106912299,
        0.07409418836014572,
        0.08371859070160165,
        0.08211623987959302,
        0.07615055161378328,
        0.06702584458783024,
        0.051891407742740085,
        0.038049378383635625,
        0.03825614149768043,
        0.054183218463525695,
        0.0753534475741016,
        0.08853147112587295,
        0.08767917178542013,
        0.07709383184439536,
        0.06308595032042386,
        0.0498812359204284,
        0.04299040064096167,
        0.04769159891460652,
        0.06483569572288776,
        0.08698035745435016,
        0.10047391641776235,
        0.09747255683203637,
        0.08098863187287358,
        0.05959496723987331,
        0.04383882265040485,
        0.04232138798062125,
        0.05720514169944535,
        0.08201306299870219,
        0.10274898262000469,
        0.10707552455080133,
        0.09210856128265357,
        0.06379922105742579,
        0.03624325103307953,
    ]
)
exact_correlation = np.array(
    [
        0.2,
        0.1247704225763532,
        0.01943938494098705,
        0.03854917181332821,
        0.11196616231067426,
        0.0906546700356683,
        0.01629373561896267,
        0.011352652889791095,
        0.0636185676540077,
        0.09543834437789013,
        0.10058518161011307,
        0.11829217731417431,
        0.1397812224038133,
        0.12316460402216707,
        0.08541383059335775,
        0.06144846844403662,
        0.020246372880505827,
        -0.02693683090021662,
        0.003919250903281282,
        0.1117419430168554,
        0.19676155181256794,
        0.18594408880783336,
        0.1002673802566004,
        0.03821525827438024,
        0.04485205090247377,
        0.05348102743040269,
        0.03160026140008638,
        0.033437649060464834,
        0.10486939975320728,
        0.20249469538955758,
        0.19735507621013149,
        0.0553097261765083,
        -0.04889114490131667,
        0.011685690974970964,
        0.11705971535823065,
        0.11681165998194759,
        0.06637091239560744,
        0.10936684225958895,
        0.20225454101061405,
        0.16284420833341812,
        -0.0025823294931362067,
        -0.0763416631752919,
        0.02985268630418397,
        0.15234468006771007,
        0.14606385406970995,
        0.0935341856492092,
        0.12325421854361143,
        0.17130422930386324,
        0.10383730044042278,
        -0.031333159406547614,
        -0.05241572078596815,
        0.07722509925347705,
        0.17642188574256007,
        0.12765340239966838,
        0.06309968945093776,
        0.11574687130499339,
        0.16978282647206913,
        0.0736143632571229,
        -0.05356602733119409,
        -0.0009649396796768892,
        0.15921620111869142,
        0.17760366431811037,
        0.04736297330213485,
        0.012122870263181897,
        0.13268065586830521,
        0.1728473023503636,
        0.03999259331072221,
        -0.036997053070222885,
        0.06951528580242439,
        0.1769169993516561,
        0.12290448295710298,
        0.012897784654866427,
        0.02859435620982225,
        0.12895847695150875,
        0.13629536955485938,
        0.05394621059822597,
        0.02298040588184324,
        0.07036499900317271,
        0.11706448623132719,
        0.10435285842074606,
        0.055721236329964965,
        0.04676334743672697,
        0.08417924910022263,
        0.10611161955304965,
        0.089304171047322,
        0.06098589533081194,
        0.06314519797488709,
        0.09431492621892917,
        0.09667836915967139,
        0.0651298357290882,
        0.05176966009147416,
        0.06727229484222669,
        0.08871788283607947,
        0.09907054249093444,
        0.09785167773502176,
        0.09277216140054353,
        0.07520999642062785,
        0.05894392248382922,
        0.07236135251622376,
        0.08608284185200156,
        0.07282922961856123,
    ]
)

axes[0].plot(exact_times, exact_energy, c="k", ls=":", label="Exact")
axes[1].plot(exact_times, exact_magnetization, c="k", ls=":", label="Exact")
axes[2].plot(exact_times, exact_correlation, c="k", ls=":", label="Exact")
# Replace the legend
legend.remove()
# Select the labels of only the first axis
legend = fig.legend(
    *axes[0].get_legend_handles_labels(),
    bbox_to_anchor=(1.0, 0.5),
    loc="center left",
    framealpha=0.5,
)
fig.tight_layout()
fig

4. Виконання на квантовому залізі

Тепер запустимо симуляцію часової еволюції на квантовому залізі. Працюватимемо з меншою задачею — розміром ґратки N=2. Будемо варіювати параметр $\alpha$ і спостерігати різницю в динаміці хвильової функції.

4.1 Крок 1. Відображення класичних вхідних даних на квантову задачу

Обери початкові налаштування симуляції:

n_qubits_2 = 2
dt_2 = 1.6
product_formula = LieTrotter(reps=1)

Потім задай початковий Circuit:

Початкова конфігурація спінів буде «вниз-вгору»

# We prepare an initial state ↓↑ (10).
# Note that Statevector and SparsePauliOp interpret the qubits from right to left
initial_circuit_2 = QuantumCircuit(n_qubits_2)
initial_circuit_2.prepare_state("10")
# Change reps and see the difference when you decompose the circuit
initial_circuit_2.decompose(reps=1).draw("mpl")

Тепер обчислимо еталонне значення за допомогою ідеального симулятора вектора стану.

bar_width = 0.1
# initial_state = Statevector.from_label("10")
final_time = 1.6
eps = 1e-5

# We create the list of angles in radians, with a small epsilon
# the exactly longitudinal field, which would present no dynamics at all
alphas = np.linspace(-np.pi / 2 + eps, np.pi / 2 - eps, 5)

for i, alpha in enumerate(alphas):
    evolved_state_2 = QuantumCircuit(initial_circuit_2.num_qubits)
    evolved_state_2.append(initial_circuit_2, evolved_state_2.qubits)
    hamiltonian_2 = get_hamiltonian(nqubits=2, J=0.2, h=1.0, alpha=alpha)
    single_step_evolution_gates_2 = PauliEvolutionGate(
        hamiltonian_2, dt_2, synthesis=product_formula
    )
    evolved_state_2.append(single_step_evolution_gates_2, evolved_state_2.qubits)
    evolved_state_2 = Statevector(evolved_state_2)
    # Dictionary of probabilities
    amplitudes_dict = evolved_state_2.probabilities_dict()
    labels = list(amplitudes_dict.keys())
    values = list(amplitudes_dict.values())
    # Convert angle to degrees
    alpha_str = f"$\\alpha={int(np.round(alpha * 180 / np.pi))}^\\circ$"
    plt.bar(np.arange(4) + i * bar_width, values, bar_width, label=alpha_str, alpha=0.7)

plt.xticks(np.arange(4) + 2 * bar_width, labels)
plt.xlabel("Measurement")
plt.ylabel("Probability")
plt.suptitle(
    f"Measurement probabilities at $t={final_time}$, for various field angles $\\alpha$\n"
    f"Initial state: 10, Linear lattice of size $L=2$"
)
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x11c816590>

Ми підготували систему з початковою послідовністю спінів $\downarrow\uparrow$, що відповідає $\vert\psi(0)\rangle = \vert10\rangle$. Після того як система еволюціонувала протягом $t=1.6$ у поперечному полі ($\alpha=0^\circ$), ми майже гарантовано виміряємо $\uparrow\downarrow$, тобто відбудеться обмін спінами. (Зверни увагу, що мітки читаються справа наліво.) Якщо поле поздовжнє ($\alpha=\pm90^\circ$), еволюції не буде, а значить, ми виміряємо систему в тому стані, в якому вона була підготовлена, $\downarrow\uparrow$. При проміжних кутах, $\alpha=\pm45^\circ$, ми зможемо виміряти всі комбінації з різними ймовірностями, причому обмін спінами найбільш вірогідний — з ймовірністю 67%.

Побудова Circuit для експерименту на залізі

circuit_list = []
for i, alpha in enumerate(alphas):
    evolved_state_2 = QuantumCircuit(initial_circuit_2.num_qubits)
    evolved_state_2.append(initial_circuit_2, evolved_state_2.qubits)
    hamiltonian_2 = get_hamiltonian(nqubits=2, J=0.2, h=1.0, alpha=alpha)
    single_step_evolution_gates_2 = PauliEvolutionGate(
        hamiltonian_2, dt_2, synthesis=product_formula
    )
    evolved_state_2.append(single_step_evolution_gates_2, evolved_state_2.qubits)
    evolved_state_2.measure_all()
    circuit_list.append(evolved_state_2)

4.2 Крок 2. Оптимізація для цільового заліза

Вкажемо Backend.

service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(operational=True, simulator=False)
backend.name

'ibm_strasbourg'

Потім транспілюємо Circuit під обраний Backend.

pm = generate_preset_pass_manager(backend=backend, optimization_level=3)
circuit_isa = pm.run(circuit_list)

Перевіримо Circuit.

circuit_isa[1].draw("mpl", idle_wires=False)

4.3 Крок 3. Виконання за допомогою примітивів Qiskit Runtime

Примітив Sampler (V2) у Qiskit повертає кількість виміряних бітових рядків.

sampler = SamplerV2(mode=backend)
job = sampler.run(circuit_isa)
job_id = job.job_id()
print("job id:", job_id)

job id: d13pswfmya70008ek070

Збережемо результати

results = job.result()

4.4 Крок 4. Постобробка результатів

Побудуємо гістограму бітових рядків, що відповідає аналізу хвильової функції, та порівняємо її з ідеальними значеннями, отриманими вище.

list_temp = ["00", "01", "10", "11"]

for i, alpha in enumerate(alphas):
    # Dictionary of probabilities
    amplitudes_dict = results[i].data.meas.get_counts()
    values = []
    for str_temp in list_temp:
        values.append(
            amplitudes_dict[str_temp] / 4096.0
        )  # divided by default number of shots
    # Convert angle to degrees
    alpha_str = f"$\\alpha={int(np.round(alpha * 180 / np.pi))}^\\circ$"
    plt.bar(np.arange(4) + i * bar_width, values, bar_width, label=alpha_str, alpha=0.7)

plt.xticks(np.arange(4) + 2 * bar_width, labels)
plt.xlabel("Measurement")
plt.ylabel("Probabilities")
plt.suptitle(
    f"Measurement probabilities at $t={final_time}$, for various field angles $\\alpha$\n"
    f"Initial state: 10, Linear lattice of size $L=2$"
)
plt.legend()

<matplotlib.legend.Legend at 0x11d7af990>

Тут ми показуємо приклад побудови Circuit з використанням Suzuki–Trotter вищого порядку (четвертого). Спробуємо побудувати Circuit симуляції з четвертим порядком Suzuki–Trotter, слідуючи прикладам вище.

Четвертий порядок Suzuki–Trotter доступний у Qiskit через клас SuzukiTrotter. Четвертий порядок обчислюється за такою рекуррентною формулою. Зверни увагу, що порядок Suzuki–Trotter позначається як «2k» у наступних рівняннях.

$$\hat{U}_{ST(2k)}\left(t\right) = \left[ \hat{U}_{ST(2k-2)}\left(p_k t\right) \right]^2 \hat{U}_{ST(2k-2)}\left( (1- 4 p_k) t\right)\left[ \hat{U}_{ST(2k-2)}\left(p_k t\right) \right]^2$$ $$p_k = 1 / \left(4-4^{\frac{1}{2k-1}}\right)$$

Побудова Circuit для одного кроку за часом

Використай product_formula_st4 (SuzukiTrotter(order=4)) і побудуй Circuit для одного кроку за часом із четвертим порядком Suzuki–Trotter. Також підрахуй кількість Gate та глибину Circuit і порівняй з Lie–Trotter та другим порядком Suzuki–Trotter.

# Modify the line below (Use PauliEvolutionGate)
single_step_evolution_gates_st4 = PauliEvolutionGate(
    hamiltonian, dt, synthesis=product_formula_st4
)
single_step_evolution_st4 = QuantumCircuit(n_qubits)
single_step_evolution_st4.append(
    single_step_evolution_gates_st4, single_step_evolution_st4.qubits
)
# Let us print some stats
print(
    f"""
Trotter step with second-order Suzuki-Trotter
-----------------------------
Depth: {single_step_evolution_st4.decompose(reps=3).depth()}
Gate count: {len(single_step_evolution_st4.decompose(reps=3))}
Nonlocal gate count: {single_step_evolution_st4.decompose(reps=3).num_nonlocal_gates()}
Gate breakdown: {", ".join([f"{k.upper()}: {v}" for k, v in single_step_evolution_st4.decompose(reps=3).count_ops().items()])}
"""
)
single_step_evolution_st4.decompose(reps=2).draw("mpl", fold=-1)

Trotter step with second-order Suzuki-Trotter
-----------------------------
Depth: 170
Gate count: 265
Nonlocal gate count: 100
Gate breakdown: U3: 115, CX: 100, U1: 50

# Check Qiskit version
import qiskit

qiskit.__version__

'2.0.2'