Операції Паулі та спостережувані

Матриці Паулі відіграють центральну роль у стабілізаторному формалізмі. Почнімо урок з обговорення матриць Паулі, включаючи деякі їхні базові алгебраїчні властивості, а також розглянемо, як матриці Паулі (та їхні тензорні добутки) можуть описувати вимірювання.

Основи операцій Паулі

Ось матриці Паулі, що включають одиничну матрицю $2\times 2$ та три ненульові матриці Паулі.

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad X = \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{pmatrix} \qquad Z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Властивості матриць Паулі

Усі чотири матриці Паулі є одночасно унітарними та ермітовими. Раніше в серії ми використовували імена $\sigma_x,$ $\sigma_y$ та $\sigma_z$ для позначення ненульових матриць Паулі, але у контексті виправлення помилок прийнято використовувати великі літери $X,$ $Y$ та $Z.$ Ця угода дотримувалася в попередньому уроці і буде продовжуватися в наступних.

Різні ненульові матриці Паулі антикомутують одна з одною.

$$XY = -YX \qquad XZ = -ZX \qquad YZ = -ZY$$

Ці співвідношення антикомутації прості та легко перевіряються множенням, але вони є критично важливими — у стабілізаторному формалізмі та в інших контекстах. Як ми побачимо, знаки мінус, що виникають при зміні порядку двох різних ненульових матриць Паулі у добутку, точно відповідають виявленню помилок у стабілізаторному формалізмі.

Також маємо наступні правила множення.

$$XX = YY = ZZ = \mathbb{I} \qquad XY = iZ \qquad YZ = iX \qquad ZX = iY$$

Тобто кожна матриця Паулі є власним оберненим (що завжди вірно для будь-якої матриці, яка є одночасно унітарною та ермітовою), а множення двох різних ненульових матриць Паулі завжди дає $\pm i$, помножене на третю ненульову матрицю Паулі. Зокрема, з точністю до фазового множника, $Y$ еквівалентна $X Z,$ що пояснює наш акцент на помилках $X$ та $Z$ і відносну незацікавленість у помилках $Y$ у квантовому виправленні помилок; $X$ представляє перекид біту, $Z$ — перекид фази, і тому (з точністю до глобального фазового множника) $Y$ представляє обидві ці помилки, що виникають одночасно на одному кубіті.

Операції Паулі на кількох кубітах

Чотири матриці Паулі представляють операції (які можуть бути помилками) на одному кубіті — а беручи їхні тензорні добутки, ми отримуємо операції на кількох кубітах. З термінологічної точки зору, коли ми говоримо про n-кубітну операцію Паулі, маємо на увазі тензорний добуток будь-яких $n$ матриць Паулі, наприклад такі приклади для $n=9.$

$$\begin{gathered} \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \\[1mm] X \otimes Y \otimes Z \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} \otimes X \otimes Y \otimes Z \end{gathered}$$

Часто термін операція Паулі відноситься до тензорного добутку матриць Паулі разом із фазовим множником, або іноді лише з певними фазовими множниками, такими як $\pm 1$ та $\pm i.$ Є вагомі причини допускати такі фазові множники з математичної точки зору — але, щоб зберегти все якомога простішим, ми будемо використовувати термін операція Паулі у цьому курсі для позначення тензорного добутку матриць Паулі без можливості фазового множника, відмінного від 1.

Вага n-кубітної операції Паулі — це кількість ненульових матриць Паулі у тензорному добутку. Наприклад, перший наведений приклад має вагу $0,$ другий — $2,$ а третій — $6.$ Інтуїтивно кажучи, вага n-кубітної операції Паулі — це кількість кубітів, на які вона діє нетривіально. Зазвичай коди квантового виправлення помилок розробляються так, щоб вони могли виявляти та виправляти помилки, представлені операціями Паулі, якщо їхня вага не надто велика.

Операції Паулі як генератори

Іноді корисно розглядати сукупності операцій Паулі як генератори множин (точніше, груп) операцій — у алгебраїчному сенсі, який ти, можливо, знаєш з теорії груп. Якщо ти не знайомий з теорією груп — нічого страшного, для цього уроку це не обов'язково. Проте знайомство з основами теорії груп настійно рекомендується тим, хто хоче глибше вивчати квантове виправлення помилок.

Припустимо, що $P_1, \ldots, P_r$ — це n-кубітні операції Паулі. Коли ми говоримо про множину, породжену $P_1, \ldots, P_r,$ маємо на увазі множину всіх матриць, які можна отримати множенням цих матриць у будь-якій комбінації та будь-якому порядку, беручи кожну скільки завгодно разів. Для позначення цієї множини використовується нотація $\langle P_1, \ldots, P_r \rangle.$

Наприклад, множина, породжена трьома ненульовими матрицями Паулі, така.

$$\langle X, Y, Z \rangle = \bigl\{\alpha P\,:\,\alpha\in\{1,i,-1,-i\},\; P\in\{\mathbb{I},X,Y,Z\} \bigr\}$$

Це можна вивести через правила множення, наведені вище. У цій множині є 16 різних матриць, яку зазвичай називають групою Паулі.

Для другого прикладу, якщо прибрати $Y,$ отримаємо половину групи Паулі.

$$\langle X, Z\rangle = \{ \mathbb{I}, X, Z, -iY, -\mathbb{I}, -X, -Z, iY \}$$

Ось останній приклад (поки що), де цього разу $n=2.$

$$\langle X \otimes X, Z \otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, X\otimes X, Z\otimes Z, -Y\otimes Y \}$$

У цьому випадку отримуємо лише чотири елементи, оскільки $X\otimes X$ і $Z\otimes Z$ комутують:

$$\begin{aligned} (X\otimes X)(Z\otimes Z) & = (XZ) \otimes (XZ)\\ & = (-ZX)\otimes (-ZX)\\ & = (ZX)\otimes (ZX)\\ & = (Z\otimes Z)(X\otimes X). \end{aligned}$$

Спостережувані Паулі

Матриці Паулі та n-кубітні операції Паулі більш загально є унітарними, а тому вони описують унітарні операції на кубітах. Але вони також є ермітовими матрицями, і тому описують вимірювання, що пояснюється далі.

Спостережувані на основі ермітових матриць

Розглянемо спочатку довільну ермітову матрицю $A.$ Коли ми говоримо про $A$ як про спостережуване, ми пов'язуємо з $A$ певне однозначно визначене проєктивне вимірювання. Іншими словами, можливими результатами є різні власні значення $A,$ а проєкції, що визначають вимірювання, — це ті, що проєктують на простори, натягнуті відповідними власними векторами $A.$ Таким чином, результати такого вимірювання виявляються дійсними числами — але оскільки матриці мають лише скінченну кількість власних значень, для заданого $A$ матимемо лише скінченну кількість різних результатів вимірювання.

Детальніше: за теоремою про спектральний розклад, можна записати

$$A = \sum_{k = 1}^m \lambda_k \Pi_k$$

для різних дійсних власних значень $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ і проєкцій $\Pi_1,\ldots,\Pi_m,$ що задовольняють

$$\Pi_1 + \cdots + \Pi_m = \mathbb{I}.$$

Такий вираз для матриці єдиний з точністю до порядку власних значень. Інакше кажучи, якщо ми наполягаємо на тому, що власні значення впорядковані за спаданням $\lambda_1 > \lambda_2 > \cdots > \lambda_m,$ то є лише один спосіб записати $A$ у вищенаведеній формі.

На основі цього виразу вимірювання, яке ми пов'язуємо зі спостережуваним $A,$ — це проєктивне вимірювання, описане проєкціями $\Pi_1,\ldots,\Pi_m,$ а власні значення $\lambda_1,\ldots,\lambda_m$ розуміються як результати вимірювання, що відповідають цим проєкціям.

Вимірювання через операції Паулі

Подивимося, як виглядають вимірювання, описані вище, для операцій Паулі, починаючи з трьох ненульових матриць Паулі. Ці матриці мають спектральні розклади таким чином.

$$\begin{gathered} X = \vert {+} \rangle\langle {+} \vert - \vert {-} \rangle\langle {-} \vert\\ Y = \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert - \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\\ Z = \vert {0} \rangle\langle {0} \vert - \vert {1} \rangle\langle {1} \vert \end{gathered}$$

Вимірювання, визначені через $X,$ $Y$ та $Z,$ розглянуті як спостережувані, є тому проєктивними вимірюваннями, визначеними наступними множинами проєкцій відповідно.

$$\begin{gathered} \bigl\{\vert {+} \rangle\langle {+} \vert, \vert {-} \rangle\langle {-} \vert \bigr\} \\ \bigl\{\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert, \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert\bigr\} \\ \bigl\{\vert {0} \rangle\langle {0} \vert, \vert {1} \rangle\langle {1} \vert\bigr\} \end{gathered}$$

У всіх трьох випадках два можливих результати вимірювання — це власні значення $+1$ та $-1.$ Такі вимірювання зазвичай називають $X$-вимірюваннями, $Y$-вимірюваннями та $Z$-вимірюваннями. Ми зустрічали ці вимірювання в уроці «Загальні вимірювання» курсу «Загальна формалізація квантової інформації,» де вони виникали у контексті квантової томографії стану.

Звичайно, $Z$-вимірювання — це по суті просто вимірювання у стандартному базисі, а $X$-вимірювання — вимірювання відносно базису плюс/мінус кубіта — але тут, у такому описі вимірювань, ми вважаємо власні значення $+1$ та $-1$ дійсними результатами вимірювання.

Те саме можна зробити для операцій Паулі на $n\geq 2$ кубітах, хоча потрібно підкреслити, що в цьому описі все одно матимемо лише два можливих результати: $+1$ та $-1,$ які є єдиними можливими власними значеннями операцій Паулі. Тому дві відповідні проєкції матимуть ранг більший за одиницю у цьому випадку. Точніше, для кожної ненульової n-кубітної операції Паулі простір станів розмірності $2^n$ завжди розбивається на два підпростори власних векторів рівної розмірності, тому обидві проєкції, що визначають відповідне вимірювання, матимуть ранг $2^{n-1}.$

Вимірювання, описане n-кубітною операцією Паулі, розглянутою як спостережуване, тому не є тим самим, що вимірювання відносно ортонормованого базису власних векторів цієї операції, і також не є незалежним вимірюванням кожної з відповідних матриць Паулі як спостережуваних на $n$ кубітах. Обидві ці альтернативи потребували б $2^n$ можливих результатів вимірювання, тоді як тут є лише два можливих результати: $+1$ та $-1.$

Наприклад, розглянемо 2-кубітну операцію Паулі $Z\otimes Z$ як спостережуване. Можна ефективно взяти тензорний добуток спектральних розкладів, щоб отримати розклад для тензорного добутку.

$$\begin{aligned} Z\otimes Z & = (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert) \otimes (\vert 0\rangle\langle 0\vert - \vert 1\rangle\langle 1\vert)\\ & = \bigl( \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \bigr) - \bigl( \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert \bigr) \end{aligned}$$

Тобто маємо $Z\otimes Z = \Pi_0 - \Pi_1$ для

$$\Pi_0 = \vert 00\rangle\langle 00\vert + \vert 11\rangle\langle 11\vert \quad\text{та}\quad \Pi_1 = \vert 01\rangle\langle 01\vert + \vert 10\rangle\langle 10\vert,$$

і це є двома проєкціями, що визначають вимірювання. Якщо, наприклад, ми нерозкладально виміряємо стан Белла $\vert\phi^+\rangle$ за допомогою цього вимірювання, то будемо певні отримати результат $+1,$ і стан залишиться незмінним після вимірювання. Зокрема, стан не колапсує до $\vert 00\rangle$ або $\vert 11\rangle.$

Нерозкладальна реалізація через оцінку фази

Для будь-якої n-кубітної операції Паулі можна нерозкладально виконати вимірювання, пов'язане з цим спостережуваним, за допомогою оцінки фази.

Ось схема на основі оцінки фази, яка працює для будь-якої матриці Паулі $P,$ де вимірювання виконується на верхньому кубіті. Результати $0$ та $1$ вимірювання у стандартному базисі у схемі відповідають власним значенням $+1$ та $-1,$ як зазвичай буває при оцінці фази з одним керуючим кубітом. (Зверни увагу, що керуючий кубіт знаходиться знизу на цій діаграмі, тоді як в уроці «Оцінка фази та факторизація» курсу «Основи квантових алгоритмів» керуючі кубіти були намальовані зверху.)

Аналогічний метод працює для операцій Паулі на кількох кубітах. Наприклад, наступна схема ілюструє нерозкладальне вимірювання 3-кубітного спостережуваного Паулі $P_2\otimes P_1\otimes P_0$ для будь-якого вибору $P_0,P_1,P_2 \in \{X,Y,Z\}.$

Цей підхід природним чином узагальнюється на n-кубітні спостережувані Паулі для будь-якого $n.$ Звичайно, при реалізації таких вимірювань через цей підхід потрібно включати керовані унітарні гейти лише для ненульових тензорних множників спостережуваних Паулі; керовані одиничні гейти є просто одиничними гейтами і тому можуть бути пропущені. Це означає, що спостережувані Паулі меншої ваги потребують менших схем для реалізації цим підходом.

Зверни увагу, що незалежно від $n,$ ці схеми оцінки фази мають лише один керуючий кубіт, що узгоджується з тим, що для цих вимірювань є лише два можливих результати. Використання більшої кількості керуючих кубітів не дало б додаткової інформації, оскільки ці вимірювання вже є ідеальними з одним керуючим кубітом. (Один зі способів переконатися в цьому — безпосередньо з загальної процедури оцінки фази: припущення $U^2 = \mathbb{I}$ робить будь-які додаткові керуючі кубіти після першого марними.)

Ось конкретний приклад нерозкладальної реалізації вимірювання $Z\otimes Z,$ який стосується опису 3-бітного коду повторення як стабілізаторного коду, який ми незабаром розглянемо.

У цьому випадку, а також для тензорних добутків більш ніж двох спостережуваних $Z$ більш загально, схему можна спростити.

Таким чином, це вимірювання еквівалентне нерозкладальному вимірюванню парності (або XOR) стандартних базисних станів двох кубітів.