Код повторення переглянуто

Далі ми знову розглянемо 3-бітний код повторення, цього разу формулюючи його в термінах операцій Паулі. Це буде наш перший приклад стабілізаторного коду.

Спостережувані Паулі для коду повторення

Пригадаємо, що при застосуванні 3-бітного коду повторення до кубітів заданий вектор стану кубіта $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ кодується як

$$\vert\psi\rangle = \alpha\vert 000\rangle + \beta\vert 111\rangle.$$

Будь-який стан $\vert\psi\rangle$ такої форми є допустимим 3-кубітним кодуванням стану кубіта — але якщо б у нас був стан, у якому ми не впевнені, ми могли б перевірити допустимість кодування, перевіривши два рівняння:

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \vert\psi\rangle & = \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Перше рівняння стверджує, що застосування операцій $Z$ до двох крайніх лівих кубітів $\vert\psi\rangle$ не має ефекту, тобто $\vert\psi\rangle$ є власним вектором $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ з власним значенням $1.$ Друге рівняння аналогічне, але операції $Z$ застосовуються до двох крайніх правих кубітів. Ідея полягає в тому, що якщо розглядати $\vert\psi\rangle$ як лінійну комбінацію стандартних базисних станів, то перше рівняння означає, що ненульові коефіцієнти можуть бути лише у стандартних базисних станів, де два крайніх лівих біти мають парний ваговий (або рівні між собою), а друге рівняння — що ненульові коефіцієнти можуть бути лише у станів, де два крайніх правих біти мають парний ваговий.

Еквівалентно, якщо розглядати два оператори Паулі $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ та $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ як спостережувані і вимірювати обидва за допомогою схем, запропонованих у кінці попереднього розділу, то ми були б впевнені в отриманні результатів вимірювань, що відповідають власним значенням $+1,$ оскільки $\vert\psi\rangle$ є власним вектором обох спостережуваних з власним значенням $1.$ Але спрощена версія (комбінованої) схеми для незалежного вимірювання обох спостережуваних, показана тут, є не що інше, як схема перевірки парності для 3-бітного коду повторення.

Два рівняння, наведені вище, тому означають, що схема перевірки парності виводить $00,$ тобто синдром, що вказує на відсутність виявлених помилок.

Тризбіткові оператори Паулі $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ та $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ називаються генераторами стабілізатора для цього коду, а стабілізатор коду — це множина, породжена генераторами стабілізатора.

$$\langle Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z\rangle = \{ \mathbb{I}\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}, Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}, Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z, \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z \}$$

Стабілізатор є фундаментально важливим математичним об'єктом, пов'язаним з цим кодом, і його роль обговорюватиметься далі в уроці. Наразі зауважимо, що можна було б вибрати генератори інакше і відповідно використати інші перевірки парності — зокрема, взявши $Z\otimes\mathbb{I}\otimes Z$ замість одного з вибраних генераторів, — але стабілізатор і сам код від цього не зміниться.

Виявлення помилок

Далі ми розглянемо виявлення бітових помилок (flip) для 3-бітного коду повторення, зосередившись на взаємодіях та співвідношеннях між залученими операторами Паулі: генераторами стабілізатора та самими помилками.

Припустимо, ми закодували кубіт за допомогою 3-бітного коду повторення, і помилка перекидання біта виникла на крайньому лівому кубіті. Це перетворює стан $\vert\psi\rangle$ відповідно до дії операції $X$ (або помилки $X$).

$$\vert\psi\rangle \mapsto (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$$

Цю помилку можна виявити, виконавши перевірки парності для 3-бітного коду повторення, як обговорювалось на попередньому уроці, що еквівалентно недеструктивному вимірюванню генераторів стабілізатора $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ та $\mathbb{I}\otimes Z\otimes Z$ як спостережуваних.

Почнемо з першого генератора стабілізатора. На стан $\vert\psi\rangle$ вплинула помилка $X$ на крайньому лівому кубіті, і наша мета — зрозуміти, як вимірювання цього генератора стабілізатора як спостережуваного визначається цією помилкою. Оскільки $X$ та $Z$ антикомутують, а будь-яка матриця комутує з одиничною матрицею, з цього випливає, що $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ антикомутує з $X\otimes\mathbb{I}\otimes\mathbb{I}.$ Водночас, оскільки $\vert\psi\rangle$ є допустимим кодуванням кубіта, $Z\otimes Z\otimes \mathbb{I}$ діє тривіально на $\vert\psi\rangle.$

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\vert\psi\rangle \\ & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

Таким чином, $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle$ є власним вектором $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$ з власним значенням $-1.$ При вимірюванні, пов'язаному зі спостережуваним $Z \otimes Z \otimes \mathbb{I}$, на стані $(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle,$ результат обов'язково відповідає власному значенню $-1.$

Аналогічне міркування можна застосувати до другого генератора стабілізатора, але на цей раз помилка комутує з генератором стабілізатора, а не антикомутує, і тому результат вимірювання відповідає власному значенню $+1.$

$$\begin{aligned} (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)\vert\psi\rangle\\ & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) \vert\psi\rangle \end{aligned}$$

З цих рівнянь випливає, що незалежно від вихідного стану $\vert\psi\rangle,$ пошкоджений стан є власним вектором обох генераторів стабілізатора, і те, чи є власне значення $+1$ чи $-1,$ визначається тим, чи помилка комутує або антикомутує з кожним генератором стабілізатора. Для помилок, представлених операторами Паулі, завжди буде одне або інше, оскільки будь-які два оператори Паулі або комутують, або антикомутують. Водночас фактичний стан $\vert\psi\rangle$ не відіграє важливої ролі, крім того, що генератори стабілізатора діють тривіально на цей стан.

Тому загалом нам не потрібно перейматись конкретним закодованим станом, з яким ми працюємо. Важливо лише те, чи комутує або антикомутує помилка з кожним генератором стабілізатора. Зокрема, ось відповідні рівняння щодо цієї конкретної помилки для цього коду.

$$\begin{aligned} (Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = -(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(Z \otimes Z \otimes \mathbb{I})\\[1mm] (\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z)(X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I}) & = (X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I})(\mathbb{I} \otimes Z \otimes Z) \end{aligned}$$

Ось таблиця, де кожен рядок відповідає генератору стабілізатора, а кожен стовпець — помилці. Елемент таблиці — $+1$ або $-1$ залежно від того, чи комутують чи антикомутують помилка і генератор стабілізатора. Таблиця містить лише стовпці для помилок, що відповідають одному перекиданню біта, а також відсутності помилки, описуваної одиничним оператором, зведеним у тензорний добуток сам із собою тричі. Можна додати більше стовпців для інших помилок, але наразі зосередимось лише на цих.

$$\begin{array}{c|cccc} & \mathbb{I}\otimes\mathbb{I} \otimes\mathbb{I} & X \otimes \mathbb{I} \otimes \mathbb{I} & \mathbb{I}\otimes X\otimes\mathbb{I} & \mathbb{I} \otimes\mathbb{I} \otimes X \\ \hline Z\otimes Z\otimes\mathbb{I} & +1 & -1 & -1 & +1 \\ \mathbb{I}\otimes Z\otimes Z & +1 & +1 & -1 & -1 \end{array}$$

Для кожної помилки в таблиці відповідний стовпець показує, як ця помилка перетворює будь-яке задане кодування у власний вектор $+1$ або $-1$ кожного генератора стабілізатора. Еквівалентно, стовпці описують синдром, який ми отримали б від перевірок парності, що є еквівалентними недеструктивним вимірюванням генераторів стабілізатора як спостережуваних. Звичайно, таблиця має елементи $+1$ і $-1$, а не $0$ і $1$ — і прийнято розглядати синдром як двійковий рядок, а не стовпець з елементами $+1$ і $-1$ — але можна також розглядати ці вектори з елементами $+1$ і $-1$ як синдроми, щоб безпосередньо пов'язати їх із власними значеннями генераторів стабілізатора. Загалом синдроми дають нам деяку інформацію про те, яка помилка сталась, і якщо відомо, що сталась одна з чотирьох можливих помилок у таблиці, синдром вказує, яка саме.

Синдроми

Кодування для 3-бітного коду повторення є 3-кубітними станами, тому вони є одиничними векторами у 8-вимірному комплексному векторному просторі. Чотири можливих синдроми фактично розбивають цей 8-вимірний простір на чотири 2-вимірних підпростори, де вектори квантових станів у кожному підпросторі завжди дають один і той самий синдром. Наступна діаграма ілюструє, як 8-вимірний простір розбивається двома генераторами стабілізатора.

Кожен генератор стабілізатора ділить простір на два підпростори рівного виміру, а саме: простір власних векторів $+1$ і простір власних векторів $-1$ для цього спостережуваного. Наприклад, власні вектори $+1$ оператора $Z\otimes Z\otimes\mathbb{I}$ — це лінійні комбінації стандартних базисних станів, у яких два крайніх лівих біти мають парний ваговий, а власні вектори $-1$ — це лінійні комбінації стандартних базисних станів, у яких два крайніх лівих біти мають непарний ваговий. Ситуація аналогічна для іншого генератора стабілізатора, але для нього вагові розглядаються для двох крайніх правих бітів, а не двох крайніх лівих.

Чотири 2-вимірних підпростори, що відповідають чотирьом можливим синдромам, у цьому випадку легко описати завдяки простоті коду. Зокрема, підпростір, що відповідає синдрому $(+1,+1),$ — це простір, натягнутий на $\vert 000\rangle$ та $\vert 111\rangle$, тобто простір допустимих кодувань (також відомий як кодовий простір), і загалом простори натягнуті на стандартні базисні стани, показані у відповідних квадратах.

Синдроми також розбивають усі 3-кубітні оператори Паулі на 4 рівних групи залежно від того, який синдром цей оператор (як помилка) спричинив би. Наприклад, будь-який оператор Паулі, що комутує з обома генераторами стабілізатора, дає синдром $(+1,+1),$ і серед 64 можливих 3-кубітних операторів Паулі у цій категорії є рівно 16 (включаючи, наприклад, $\mathbb{I}\otimes \mathbb{I}\otimes Z,$ $Z\otimes Z\otimes Z,$ та $X\otimes X\otimes X$), і так само для інших 3 синдромів.

Обидві ці властивості — що синдроми розбивають як простір станів, де живуть кодування, так і всі оператори Паулі на цьому просторі на рівні групи — є правдивими загалом для стабілізаторних кодів, які ми точно визначимо в наступному розділі.

Хоча це переважно є відступом на даному етапі, варто зазначити, що оператори Паулі, які комутують з обома генераторами стабілізатора, або еквівалентно, що дають синдром $(+1,+1),$ але самі не є пропорційними елементам стабілізатора, виявляються такими, що поводяться як однокубітні оператори Паулі на закодованому кубіті (тобто логічному кубіті) для цього коду. Наприклад, $X\otimes X \otimes X$ комутує з обома генераторами стабілізатора, але сам не є пропорційним жодному елементу стабілізатора, і справді дія цього оператора на кодування еквівалентна гейту $X$ на логічному кубіті, що кодується.

$$(X\otimes X \otimes X)(\alpha \vert 000\rangle + \beta \vert 111\rangle) = \alpha \vert 111\rangle + \beta \vert 000\rangle$$

Знову ж таки, це явище узагальнюється на всі стабілізаторні коди.