Сфера Блоха

Є зручний геометричний спосіб представлення станів кубіта, відомий як сфера Блоха. Він дуже зручний, але, на жаль, працює лише для кубітів — аналогічне представлення більше не відповідає сферичному об'єкту, щойно у нашої системи з'являється три або більше класичних стани.

Стани кубіта як точки на сфері

Почнімо з розгляду вектора квантового стану кубіта: $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle.$ Ми можемо обмежити увагу векторами, для яких $\alpha$ є невід'ємним дійсним числом, оскільки кожен вектор квантового стану кубіта еквівалентний з точністю до глобальної фази такому, для якого $\alpha \geq 0.$ Це дозволяє записати

$$\vert\psi\rangle = \cos\bigl(\theta/2\bigr) \vert 0\rangle + e^{i\phi} \sin\bigl(\theta/2\bigr) \vert 1\rangle$$

для двох дійсних чисел $\theta \in [0,\pi]$ і $\phi\in[0,2\pi).$ Тут ми допускаємо, що $\theta$ змінюється від $0$ до $\pi$ і ділимо на $2$ в аргументі синуса і косинуса, бо це загальноприйнятий спосіб параметризації таких векторів, і трохи пізніше це спростить нам роботу.

Втім, числа $\theta$ і $\phi$ не зовсім однозначно визначаються заданим вектором квантового стану $\alpha \vert 0\rangle + \beta \vert 1\rangle$, але майже так. Зокрема, якщо $\beta = 0,$ то $\theta = 0,$ і значення $\phi$ не має значення — воно може бути довільним. Аналогічно, якщо $\alpha = 0,$ то $\theta = \pi,$ і знову $\phi$ не відіграє ролі (оскільки наш стан еквівалентний $e^{i\phi}\vert 1\rangle$ для будь-якого $\phi$ з точністю до глобальної фази). Але якщо ні $\alpha,$ ні $\beta$ не дорівнює нулю, існує єдиний вибір пари $(\theta,\phi),$ для якого $\vert\psi\rangle$ еквівалентний $\alpha\vert 0\rangle + \beta\vert 1\rangle$ з точністю до глобальної фази.

Далі розглянемо представлення цього стану у вигляді матриці густини.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\theta/2) & e^{-i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2)\\[2mm] e^{i\phi}\cos(\theta/2)\sin(\theta/2) & \sin^2(\theta/2) \end{pmatrix}$$

Скориставшись тригонометричними тотожностями,

$$\begin{gathered} \cos^2(\theta/2) = \frac{1 + \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \sin^2(\theta/2) = \frac{1 - \cos(\theta)}{2},\\[2mm] \cos(\theta/2) \sin(\theta/2) = \frac{\sin(\theta)}{2}, \end{gathered}$$

а також формулою $e^{i\phi} = \cos(\phi) + i\sin(\phi),$ спростимо матрицю густини таким чином.

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 + \cos(\theta) & (\cos(\phi) - i \sin(\phi)) \sin(\theta)\\[1mm] (\cos(\phi) + i \sin(\phi)) \sin(\theta) & 1 - \cos(\theta) \end{pmatrix}$$

Це дозволяє легко виразити матрицю густини як лінійну комбінацію матриць Паулі:

$$\mathbb{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1\\[1mm] 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i\\[1mm] i & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & -1 \end{pmatrix}.$$

Зокрема, отримуємо:

$$\vert\psi\rangle\langle\psi\vert = \frac{\mathbb{I} + \sin(\theta) \cos(\phi)\sigma_x + \sin(\theta)\sin(\phi) \sigma_y + \cos(\theta) \sigma_z}{2}.$$

Коефіцієнти при $\sigma_x,$ $\sigma_y$ та $\sigma_z$ у чисельнику цього виразу є дійсними числами, тому їх можна зібрати разом і утворити вектор у звичайному тривимірному евклідовому просторі.

$$\bigl(\sin(\theta) \cos(\phi), \sin(\theta)\sin(\phi), \cos(\theta)\bigr)$$

Насправді це одиничний вектор. У сферичних координатах його можна записати як $(1,\theta,\phi).$ Перша координата, $1,$ — це радіус або радіальна відстань (яка у цьому випадку завжди дорівнює $1$), $\theta$ — полярний кут, а $\phi$ — азимутальний кут.

Якщо уявити сферу як планету Земля, то полярний кут $\theta$ — це те, наскільки далеко ми повертаємось на південь від північного полюса до описуваної точки, від $0$ до $\pi = 180^{\circ},$ а азимутальний кут $\phi$ — це те, наскільки далеко ми повертаємось на схід від нульового меридіана, від $0$ до $2\pi = 360^{\circ}.$ Тут ми визначаємо нульовий меридіан як лінію на поверхні сфери від одного полюса до іншого, що проходить через позитивну вісь $x.$

Кожну точку на сфері можна описати таким чином — тобто точки, які ми отримуємо при перебиранні всіх можливих чистих станів кубіта, точно відповідають сфері в $3$ дійсних вимірах. (Ця сфера зазвичай називається одиничною $2$-сферою, оскільки поверхня цієї сфери є двовимірною.)

Коли ми пов'язуємо точки на одиничній $2$-сфері з чистими станами кубітів, ми отримуємо представлення сфери Блоха цих станів.

Шість важливих прикладів

1. Стандартний базис $\{\vert 0\rangle,\vert 1\rangle\}.$ Почнімо зі стану $\vert 0\rangle.$ У вигляді матриці густини він записується так.

   $$\vert 0 \rangle \langle 0 \vert = \frac{\mathbb{I} + \sigma_z}{2}$$

   Збираючи коефіцієнти при матрицях Паулі у чисельнику, бачимо, що відповідна точка на одиничній $2$-сфері в декартових координатах — це $(0,0,1).$ У сферичних координатах ця точка — $(1,0,\phi),$ де $\phi$ може бути будь-яким кутом. Це узгоджується з виразом

   $$\vert 0\rangle = \cos(0) \vert 0\rangle + e^{i \phi} \sin(0) \vert 1\rangle,$$

   який також справедливий для будь-якого $\phi.$ Інтуїтивно: полярний кут $\theta$ дорівнює нулю, тому ми знаходимося на північному полюсі сфери Блоха, де азимутальний кут не має значення.

   Аналогічно, матрицю густини для стану $\vert 1\rangle$ можна записати так.

   $$\vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \frac{\mathbb{I} - \sigma_z}{2}$$

   Цього разу декартові координати — $(0,0,-1).$ У сферичних координатах ця точка — $(1,\pi,\phi),$ де $\phi$ може бути будь-яким кутом. У цьому випадку полярний кут доходить до $\pi,$ тому ми знаходимося на південному полюсі, де азимутальний кут знову не відіграє ролі.

2. Базис $\{\vert + \rangle, \vert - \rangle\}.$ Матриці густини цих станів мають такі вирази.

   $$\begin{aligned} \vert {+} \rangle\langle {+} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_x}{2}\\[2mm] \vert {-} \rangle\langle {-} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_x}{2} \end{aligned}$$

   Відповідні точки на одиничній $2$-сфері мають декартові координати $(1,0,0)$ і $(-1,0,0),$ а сферичні координати — $(1,\pi/2,0)$ і $(1,\pi/2,\pi)$ відповідно.

   Іншими словами, $\vert +\rangle$ відповідає точці перетину позитивної осі $x$ з одиничною $2$-сферою, а $\vert -\rangle$ — точці перетину від'ємної осі $x$ з нею. Більш інтуїтивно: $\vert +\rangle$ знаходиться на екваторі сфери Блоха там, де вона перетинає нульовий меридіан, а $\vert - \rangle$ — на екваторі з протилежного боку сфери.

3. Базис $\{\vert {+i} \rangle, \vert {-i} \rangle\}.$ Як ми бачили раніше в уроці, ці два стани визначені так:

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle\\[2mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

   Тепер маємо такі вирази.

   $$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert & = \frac{\mathbb{I} + \sigma_y}{2}\\[2mm] \vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert & = \frac{\mathbb{I} - \sigma_y}{2} \end{aligned}$$

   Відповідні точки на одиничній $2$-сфері мають декартові координати $(0,1,0)$ і $(0,-1,0),$ а сферичні координати — $(1,\pi/2,\pi/2)$ і $(1,\pi/2,3\pi/2)$ відповідно.

   Іншими словами, $\vert {+i} \rangle$ відповідає точці перетину позитивної осі $y$ з одиничною $2$-сферою, а $\vert {-i} \rangle$ — точці перетину від'ємної осі $y$ з нею.

Ось ще один клас векторів квантових станів, який час від часу з'являвся у цій серії, включаючи раніше в цьому уроці.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle = \cos(\alpha) \vert 0\rangle + \sin(\alpha) \vert 1\rangle \qquad \text{(для $\alpha \in [0,\pi)$)}$$

Представлення кожного з цих станів у вигляді матриці густини таке.

$$\vert \psi_{\alpha} \rangle \langle \psi_{\alpha} \vert = \begin{pmatrix} \cos^2(\alpha) & \cos(\alpha)\sin(\alpha)\\[2mm] \cos(\alpha)\sin(\alpha) & \sin^2(\alpha) \end{pmatrix} = \frac{\mathbb{I} + \sin(2\alpha) \sigma_x + \cos(2\alpha) \sigma_z}{2}$$

Наступний рисунок ілюструє відповідні точки на сфері Блоха для кількох значень $\alpha.$

Опуклі комбінації точок

Аналогічно до того, що ми вже обговорювали для матриць густини, можна брати опуклі комбінації точок на сфері Блоха, щоб отримати представлення матриць густини кубіта. Загалом це дає точки всередині сфери Блоха, які представляють матриці густини станів, що не є чистими. Іноді ми говоримо про кулю Блоха, коли хочемо підкреслити, що включаємо точки всередині сфери Блоха як представлення матриць густини кубіта.

Наприклад, ми вже бачили, що матриця густини $\frac{1}{2}\mathbb{I},$ яка представляє повністю змішаний стан кубіта, може бути записана двома альтернативними способами:

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \quad\text{та}\quad \frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert + \frac{1}{2} \vert -\rangle\langle -\vert.$$

Також маємо

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{1}{2} \vert {+i}\rangle\langle {+i} \vert + \frac{1}{2} \vert {-i} \rangle\langle {-i}\vert,$$

і більш загально можна використати будь-які два ортогональних вектори квантового стану кубіта (які завжди відповідатимуть двом антиподальним точкам на сфері Блоха). Якщо усереднити відповідні точки на сфері Блоха аналогічним чином, отримаємо ту саму точку — в даному випадку в центрі сфери. Це узгоджується з тим, що

$$\frac{1}{2} \mathbb{I} = \frac{\mathbb{I} + 0 \cdot \sigma_x + 0 \cdot \sigma_y + 0 \cdot \sigma_z}{2},$$

що дає нам декартові координати $(0,0,0).$

Інший приклад опуклих комбінацій точок сфери Блоха — той, що обговорювався в попередньому підрозділі.

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \cos^2(\pi/8) \vert \psi_{\pi/8} \rangle \langle \psi_{\pi/8}\vert + \sin^2(\pi/8) \vert \psi_{5\pi/8} \rangle \langle \psi_{5\pi/8}\vert$$

Наступний рисунок ілюструє ці два різних способи отримати цю матрицю густини як опуклу комбінацію чистих станів.