Кілька систем та редуковані стани

Тепер ми розглянемо, як матриці густини працюють для кількох систем, зокрема розберемо приклади різних типів кореляцій, які вони можуть виражати, а також як їх можна використовувати для опису станів ізольованих частин складених систем.

Кілька систем

Матриці густини можуть представляти стани кількох систем аналогічно до вектор-станів у спрощеному формулюванні квантової інформації, дотримуючись тієї ж базової ідеї: кілька систем можна розглядати як одну складену систему. У математичних термінах рядки та стовпці матриць густини, що представляють стани кількох систем, відповідають декартовому добутку множин класичних станів окремих систем.

Наприклад, пригадай представлення вектор-станів для чотирьох станів Белла.

$$\begin{aligned} \vert \phi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \phi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle \\[2mm] \vert \psi^+ \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \\[2mm] \vert \psi^- \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 01 \rangle - \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 10 \rangle \end{aligned}$$

Матричні представлення густини цих станів такі.

$$\vert \phi^+ \rangle \langle \phi^+ \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \phi^- \rangle \langle \phi^- \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] -\frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^+ \rangle \langle \psi^+ \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\vert \psi^- \rangle \langle \psi^- \vert = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Добуткові стани

Як і у випадку вектор-станів, тензорні добутки матриць густини представляють незалежність між станами кількох систем. Наприклад, якщо $\mathsf{X}$ підготовлено в стані, що описується матрицею густини $\rho$, а $\mathsf{Y}$ незалежно підготовлено в стані $\sigma,$ то матриця густини, що описує стан $(\mathsf{X},\mathsf{Y}),$ є тензорним добутком $\rho\otimes\sigma.$

Тут використовується та сама термінологія, що й у спрощеному формулюванні квантової інформації: стани такого вигляду називаються добутковими станами.

Корельовані та заплутані стани

Стани, які не можна виразити як добуткові, представляють кореляції між системами. Насправді матриці густини можуть описувати різні типи кореляцій. Ось кілька прикладів.

1. Корельовані класичні стани. Наприклад, ситуацію, коли Аліса і Боб спільно використовують випадковий біт, можна записати так:

   $$\frac{1}{2} \vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0 \rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1 \rangle \langle 1 \vert \otimes \vert 1 \rangle \langle 1 \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

2. Ансамблі квантових станів. Припустимо, маємо $m$ матриць густини $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1},$ які всі описують стани системи $\mathsf{X},$ і ми випадково обираємо один із цих станів згідно з вектором ймовірностей $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Такий процес описується ансамблем станів, що включає специфікацію матриць густини $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$ та ймовірностей $(p_0,\ldots,p_{m-1}).$ Ансамблю станів можна зіставити єдину матрицю густини, що описує як випадковий вибір $k$, так і відповідну матрицю густини $\rho_k,$ ось так:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \vert k\rangle \langle k \vert \otimes \rho_k.$$

   Уточнимо: це стан пари $(\mathsf{Y},\mathsf{X}),$ де $\mathsf{Y}$ представляє класичний вибір $k$ — тобто ми припускаємо, що його множина класичних станів — $\{0,\ldots,m-1\}.$ Стани такого вигляду іноді називають класично-квантовими станами.

3. Сепарабельні стани. Можна уявити ситуації, в яких між квантовими станами двох систем є класична кореляція:

   $$\sum_{k = 0}^{m-1} p_k \rho_k \otimes \sigma_k.$$

   Словами: для кожного $k$ від $0$ до $m-1$ з ймовірністю $p_k$ ліва система перебуває в стані $\rho_k$, а права — в стані $\sigma_k.$ Стани такого вигляду називаються сепарабельними станами. Це поняття можна поширити й на більш ніж дві системи.

4. Заплутані стани. Не всі стани пар систем є сепарабельними. У загальному формулюванні квантової інформації саме так визначається заплутаність: стани, які не є сепарабельними, називаються заплутаними.

   Зауваж, що ця термінологія узгоджується з термінологією курсу «Основи квантової інформації». Там ми казали, що вектори квантових станів, які не є добутковими, описують заплутані стани — і справді, для будь-якого вектора квантового стану $\vert\psi\rangle,$ що не є добутковим, стан, представлений матрицею густини $\vert\psi\rangle\langle\psi\vert,$ не є сепарабельним. Для станів, що не є чистими, заплутаність є значно складнішим поняттям.

Редуковані стани та частковий слід

Є одна проста, але важлива річ, яку можна зробити з матрицями густини в контексті кількох систем: описувати стани, що отримуються при ігноруванні частини систем. Коли кілька систем перебувають у квантовому стані і ми відкидаємо або ігноруємо одну чи більше з них, стан решти систем називається редукованим станом цих систем. Матрично-густинні описи редукованих станів легко отримати за допомогою відображення, відомого як частковий слід, з матриці густини, що описує стан системи загалом.

Приклад: редуковані стани для е-біта

Припустимо, маємо пару кубітів $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ які разом перебувають у стані

$$\vert\phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 00 \rangle + \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 11 \rangle.$$

Уявімо, що Аліса тримає кубіт $\mathsf{A}$, а Боб — $\mathsf{B},$ тобто разом вони поділяють е-біт. Ми хочемо мати матрично-густинний опис кубіта $\mathsf{A}$ Аліси в ізоляції, наче Боб вирішив взяти свій кубіт і вирушити до зірок, щоб більше ніколи не повернутися.

Спочатку подумаємо, що сталося б, якби Боб десь на своєму шляху вирішив виміряти свій кубіт вимірюванням у стандартному базисі. Якби він це зробив, то отримав би результат $0$ з ймовірністю

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 0\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

після чого стан кубіта Аліси стає $\vert 0\rangle;$ а результат $1$ — з ймовірністю

$$\bigl\| \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle 1\vert \bigr) \vert \phi^+ \rangle \bigr\|^2 = \Bigl\| \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle \Bigr\|^2 = \frac{1}{2},$$

після чого стан кубіта Аліси стає $\vert 1\rangle.$

Отже, якщо ігнорувати результат вимірювання Боба і зосередитися на кубіті Аліси, ми доходимо висновку, що вона отримує стан $\vert 0\rangle$ з ймовірністю $1/2$ і стан $\vert 1\rangle$ з ймовірністю $1/2.$ Це приводить нас до опису стану кубіта Аліси в ізоляції за допомогою матриці густини

$$\frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \mathbb{I}_{\mathsf{A}}.$$

Тобто кубіт Аліси перебуває в повністю змішаному стані. Уточнимо: цей опис стану кубіта Аліси не включає результат вимірювання Боба; ми взагалі ігноруємо Боба.

Може здатися, що матрично-густинний опис кубіта Аліси в ізоляції, який ми щойно отримали, залежить від припущення, що Боб виміряв свій кубіт, але насправді це не так. Ми використали можливість вимірювання Боба лише для того, щоб аргументувати виникнення повністю змішаного стану для кубіта Аліси, спираючись на те, що ми вже знаємо. Звісно, ніхто не зобов'язує Боба вимірювати свій кубіт — але й ніщо не заважає йому це зробити. А якщо він перебуває за світлові роки, то ніщо з того, що він робить або не робить, не може вплинути на стан кубіта Аліси, розглянутий в ізоляції. Тобто отриманий нами опис стану кубіта Аліси є єдиним описом, що відповідає неможливості надсвітлової передачі інформації.

Можна також розглянути стан кубіта Боба $\mathsf{B},$ який також виявляється повністю змішаним. Справді, для всіх чотирьох станів Белла редукований стан як кубіта Аліси, так і кубіта Боба є повністю змішаним.

Редуковані стани для загального вектора квантового стану

Тепер узагальнимо щойно розглянутий приклад на дві довільні системи $\mathsf{A}$ та $\mathsf{B},$ які не обов'язково є кубітами в стані $\vert \phi^+\rangle.$ Припустимо, що множини класичних станів $\mathsf{A}$ та $\mathsf{B}$ — це відповідно $\Sigma$ та $\Gamma.$ Матриця густини $\rho$, що описує стан об'єднаної системи $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ тому має рядки й стовпці, що відповідають декартовому добутку $\Sigma\times\Gamma.$

Припустимо, що стан $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ описується вектором квантового стану $\vert\psi\rangle,$ тому матриця густини, що описує цей стан, — $\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert.$ Отримаємо матрично-густинний опис стану $\mathsf{A}$ в ізоляції, що традиційно позначається $\rho_{\mathsf{A}}.$ (Іноді також використовується верхній індекс замість нижнього.)

Вектор стану $\vert\psi\rangle$ можна виразити у вигляді

$$\vert\psi\rangle = \sum_{b\in\Gamma} \vert\phi_b\rangle \otimes \vert b\rangle$$

для однозначно визначеної сукупності векторів $\{\vert\phi_b\rangle : b\in\Gamma\}.$ Зокрема, ці вектори можна знайти за простою формулою.

$$\vert\phi_b\rangle = \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr)\vert\psi\rangle$$

Міркуючи аналогічно до попереднього прикладу з е-бітом, якби ми виміряли систему $\mathsf{B}$ вимірюванням у стандартному базисі, то отримали б кожен результат $b\in\Gamma$ з ймовірністю $\|\vert\phi_b\rangle\|^2,$ після чого стан $\mathsf{A}$ стає

$$\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}.$$

Як матриця густини, цей стан можна записати так.

$$\biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr) \biggl(\frac{\vert \phi_b \rangle}{\|\vert\phi_b\rangle\|}\biggr)^{\dagger} = \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2}$$

Усереднюючи різні стани за ймовірностями відповідних результатів, отримуємо матрицю густини

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \|\vert\phi_b\rangle\|^2 \frac{\vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert}{\|\vert\phi_b\rangle\|^2} = \sum_{b\in\Gamma} \vert \phi_b \rangle\langle\phi_b\vert = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

Частковий слід

Формула

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b\vert\bigr) \vert\psi\rangle\langle\psi\vert \bigl(\mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b\rangle\bigr)$$

підводить нас до опису редукованого стану $\mathsf{A}$ для будь-якої матриці густини $\rho$ пари $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ а не лише для чистого стану.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)$$

Ця формула має працювати завдяки лінійності та тому факту, що кожну матрицю густини можна записати як опуклу комбінацію чистих станів.

Операція, що виконується над $\rho$ для отримання $\rho_{\mathsf{A}}$ в цьому рівнянні, відома як частковий слід, і точніше кажуть, що частковий слід береться по $\mathsf{B},$ або що $\mathsf{B}$ відстежується (виключається слідом). Ця операція позначається $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}},$ тому можна записати

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} (\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr).$$

Можна також визначити частковий слід по $\mathsf{A},$ тобто відстежувати систему $\mathsf{A}$, а не $\mathsf{B},$ ось так.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} (\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl(\langle a \vert\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl(\vert a \rangle\otimes\mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr)$$

Це дає нам матрично-густинний опис $\rho_{\mathsf{B}}$ стану $\mathsf{B}$ в ізоляції замість $\mathsf{A}.$

Підсумовуючи: якщо $(\mathsf{A},\mathsf{B})$ — довільна пара систем і $\rho$ — матриця густини, що описує стан $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ то редуковані стани систем $\mathsf{A}$ та $\mathsf{B}$ такі.

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{A}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert\bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle\bigr)\\[2mm] \rho_{\mathsf{B}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \bigl( \langle a \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}}\bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle\otimes \mathbb{I}_{\mathsf{B}} \bigr) \end{aligned}$$

Якщо $\rho$ є матрицею густини, то $\rho_{\mathsf{A}}$ та $\rho_{\mathsf{B}}$ також обов'язково будуть матрицями густини.

Ці поняття природним чином узагальнюються на будь-яку кількість систем замість двох. Загалом можна вказати імена будь-яких систем у нижньому індексі матриці густини $\rho$, щоб описати редукований стан лише цих систем. Наприклад, якщо $\mathsf{A},$ $\mathsf{B}$ та $\mathsf{C}$ — системи і $\rho$ — матриця густини, що описує стан $(\mathsf{A},\mathsf{B},\mathsf{C}),$ то можна визначити

$$\begin{aligned} \rho_{\mathsf{AC}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \mathbb{I}_{\mathsf{A}} \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \\[2mm] \rho_{\mathsf{C}} & = \operatorname{Tr}_{\mathsf{AB}}(\rho) = \sum_{a\in\Sigma} \sum_{b\in\Gamma} \bigl( \langle a \vert \otimes \langle b \vert \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \rho \bigl( \vert a \rangle \otimes \vert b \rangle \otimes \mathbb{I}_{\mathsf{C}} \bigr) \end{aligned}$$

і аналогічно для інших варіантів вибору систем.

Альтернативний опис часткового сліду

Альтернативний спосіб описати відображення часткового сліду $\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}$ та $\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}$ полягає в тому, що вони є єдиними лінійними відображеннями, що задовольняють формули

$$\begin{aligned} \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(M) N \\[2mm] \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(M \otimes N) & = \operatorname{Tr}(N) M. \end{aligned}$$

У цих формулах $N$ та $M$ — квадратні матриці відповідних розмірів: рядки й стовпці $M$ відповідають класичним станам $\mathsf{A}$, а рядки й стовпці $N$ — класичним станам $\mathsf{B}.$

Така характеризація часткового сліду є фундаментальною не лише з математичної точки зору, але й може дозволити швидко виконувати обчислення в деяких ситуаціях. Наприклад, розглянемо такий стан пари кубітів $(\mathsf{A},\mathsf{B}).$

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert \otimes \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert \otimes \vert +\rangle\langle +\vert$$

Щоб обчислити, наприклад, редукований стан $\rho_{\mathsf{A}},$ можна скористатися лінійністю разом із тим фактом, що $\vert 0\rangle\langle 0\vert$ та $\vert +\rangle\langle +\vert$ мають одиничний слід.

$$\rho_{\mathsf{A}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{B}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert +\rangle\langle +\vert\bigr) \vert 1\rangle\langle 1\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle\langle 1\vert$$

Редукований стан $\rho_{\mathsf{B}}$ можна обчислити аналогічно.

$$\rho_{\mathsf{B}} = \operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}(\rho) = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 0\rangle\langle 0\vert\bigr)\, \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl(\vert 1\rangle\langle 1\vert\bigr) \vert +\rangle\langle +\vert = \frac{1}{2} \vert 0\rangle\langle 0\vert + \frac{1}{2} \vert +\rangle\langle +\vert$$

Частковий слід для двох кубітів

Частковий слід можна також описати явно у вигляді матриць. Тут ми зробимо це лише для двох кубітів, але це також можна узагальнити на більші системи. Припустимо, маємо два кубіти $(\mathsf{A},\mathsf{B}),$ тому будь-яку матрицю густини, що описує стан цих двох кубітів, можна записати у вигляді

$$\rho = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

для деякого набору комплексних чисел $\{\alpha_{jk} : 0\leq j,k\leq 3\}.$

Формула часткового сліду по першій системі така.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{22} & \alpha_{01} + \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{10} + \alpha_{32} & \alpha_{11} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

Один спосіб зрозуміти цю формулу — розглядати матриці $4\times 4$ як блокові матриці $2\times 2,$ де кожен блок є матрицею $2\times 2.$ Тобто

$$\rho = \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix}$$

де

$$M_{0,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} \\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix}, \quad M_{0,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03} \\[2mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix}, \quad M_{1,0} = \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21} \\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix}, \quad M_{1,1} = \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23} \\[2mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix}.$$

Тоді маємо

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}}\begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = M_{0,0} + M_{1,1}.$$

Ось формула для випадку, коли виконується часткове трасування за другою системою, а не за першою.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01} & \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[2mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} & \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[2mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} & \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{00} & \alpha_{01}\\[1mm] \alpha_{10} & \alpha_{11} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{02} & \alpha_{03}\\[1mm] \alpha_{12} & \alpha_{13} \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{20} & \alpha_{21}\\[1mm] \alpha_{30} & \alpha_{31} \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{22} & \alpha_{23}\\[1mm] \alpha_{32} & \alpha_{33} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \alpha_{00} + \alpha_{11} & \alpha_{02} + \alpha_{13}\\[2mm] \alpha_{20} + \alpha_{31} & \alpha_{22} + \alpha_{33} \end{pmatrix}$$

У термінах блокових матриць аналогічного вигляду маємо таку формулу.

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} M_{0,0} & M_{0,1} \\[1mm] M_{1,0} & M_{1,1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr}(M_{0,0}) & \operatorname{Tr}(M_{0,1}) \\[1mm] \operatorname{Tr}(M_{1,0}) & \operatorname{Tr}(M_{1,1}) \end{pmatrix}$$

Блокові матричні описи цих функцій природно і безпосередньо узагальнюються на системи більші за кубіти.

На завершення уроку застосуємо ці формули до того самого стану, який розглядали вище.

$$\rho = \frac{1}{2} \vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \vert 0\rangle \langle 0 \vert + \frac{1}{2} \vert 1\rangle \langle 1 \vert \otimes \vert +\rangle \langle + \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0 \\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$

Редукований стан першої системи $\mathsf{A}$ дорівнює

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{B}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} \\[4mm] \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} & \operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

а редукований стан другої системи $\mathsf{B}$ дорівнює

$$\operatorname{Tr}_{\mathsf{A}} \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & 0 & 0\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] 0 & 0 & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{1}{4}\\[2mm] \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}.$$