Основи матриці густини

Почнемо з математичного опису матриць густини, а потім розглянемо кілька прикладів. Після цього обговоримо деякі базові властивості матриць густини та їхній зв'язок із квантовими векторами стану в спрощеному формулюванні квантової інформації.

Визначення

Припустимо, що маємо квантову систему з назвою $\mathsf{X},$ і нехай $\Sigma$ — це (скінченна і непорожня) множина класичних станів цієї системи. Тут ми дотримуємося угод про іменування, прийнятих у курсі «Основи квантової інформації», — і продовжимо це робити, коли виникне така нагода.

У загальному формулюванні квантової інформації квантовий стан системи $\mathsf{X}$ описується матрицею густини $\rho$, елементи якої є комплексними числами, а індекси (рядків і стовпців) відповідають множині класичних станів $\Sigma.$ Грецька літера $\rho$ — традиційний перший вибір для назви матриці густини, хоча $\sigma$ та $\xi$ також вживаються досить часто.

Ось кілька прикладів матриць густини, що описують стани кубітів:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Казати, що $\rho$ є матрицею густини, означає, що виконуються обидві такі умови (їх пояснення наведемо нижче):

1. Одинична слідова сума: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$
2. Додатна напіввизначеність: $\rho \geq 0.$

Слід матриці

Перша умова на матриці густини стосується сліду матриці. Це функція, визначена для всіх квадратних матриць як сума діагональних елементів:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

Слід — це лінійна функція: для будь-яких двох квадратних матриць $A$ і $B$ одного розміру та будь-яких двох комплексних чисел $\alpha$ і $\beta$ завжди виконується така рівність.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

Слід — надзвичайно важлива функція, і про неї можна розповісти значно більше, але ми повернемося до цього, коли виникне потреба.

Додатно напіввизначені матриці

Друга умова стосується властивості матриці бути додатно напіввизначеною — фундаментальне поняття в теорії квантової інформації та в багатьох інших галузях. Матриця $P$ є додатно напіввизначеною, якщо існує матриця $M$ така, що

$$P = M^{\dagger} M.$$

При цьому можна або вимагати, щоб $M$ була квадратною матрицею того самого розміру, що й $P$, або дозволити їй бути неквадратною — в обох випадках отримаємо той самий клас матриць.

Існує кілька альтернативних (але еквівалентних) способів визначити цю умову, зокрема:

• Матриця $P$ є додатно напіввизначеною тоді й лише тоді, коли $P$ ермітова (тобто рівна своїй спряженій транспозиції) і всі її власні значення є невід'ємними дійсними числами. Перевірка ермітовості та невід'ємності власних значень — простий обчислювальний спосіб впевнитися, що матриця є додатно напіввизначеною.

• Матриця $P$ є додатно напіввизначеною тоді й лише тоді, коли $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ для кожного комплексного вектора $\vert\psi\rangle$ з тими самими індексами, що й рядки та стовпці $P.$

Інтуїтивно можна думати про додатно напіввизначені матриці як про матричні аналоги невід'ємних дійсних чисел. Тобто додатно напіввизначені матриці відносяться до комплексних квадратних матриць так само, як невід'ємні дійсні числа відносяться до комплексних чисел. Наприклад, комплексне число $\alpha$ є невід'ємним дійсним числом тоді й лише тоді, коли

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

для деякого комплексного числа $\beta,$ що збігається з визначенням додатної напіввизначеності, якщо матриці замінити скалярами. Хоча матриці є загалом складнішими об'єктами, ніж скаляри, такий підхід все одно допомагає краще розуміти додатно напіввизначені матриці.

Це також пояснює стандартне позначення $P\geq 0,$ яке вказує, що $P$ є додатно напіввизначеною. Зверни увагу, що в цьому контексті $P\geq 0$ не означає, що кожен елемент $P$ є невід'ємним; існують додатно напіввизначені матриці з від'ємними елементами, а також матриці з усіма додатними елементами, які проте не є додатно напіввизначеними.

Інтерпретація матриць густини

На цьому етапі визначення матриць густини може здатися доволі довільним і абстрактним, адже ми ще не надали жодного змісту цим матрицям та їхнім елементам. Те, як матриці густини працюють і як їх інтерпретувати, стане зрозумілішим у ході цього уроку, але зараз може бути корисно думати про елементи матриць густини в такий (дещо неформальний) спосіб.

• Діагональні елементи матриці густини дають нам ймовірності появи кожного класичного стану під час вимірювання у стандартному базисі — тому можна думати про ці елементи як про «вагу» або «ймовірність», пов'язану з кожним класичним станом.

• Позадіагональні елементи матриці густини описують ступінь квантової суперпозиції двох класичних станів, що відповідають цьому елементу (тобто стану, що відповідає рядку, і стану, що відповідає стовпцю), а також відносну фазу між ними.

Безумовно, апріорі зовсім не очевидно, що квантові стани мають представлятися матрицями густини. Насправді є певний сенс, у якому вибір представляти квантові стани матрицями густини природно породжує весь математичний апарат квантової інформації. Все інше у квантовій інформації фактично логічно випливає з цього одного вибору!

Зв'язок із векторами квантового стану

Пригадаємо, що вектор квантового стану $\vert\psi\rangle$, який описує квантовий стан системи $\mathsf{X},$ — це стовпцевий вектор з евклідовою нормою, рівною $1$, елементи якого відповідають множині класичних станів $\Sigma.$ Представлення того самого стану у вигляді матриці густини $\rho$ визначається таким чином.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

Зауважимо, що тут ми множимо стовпцевий вектор на рядковий вектор, у результаті отримуємо квадратну матрицю, рядки і стовпці якої відповідають $\Sigma.$ Матриці такого вигляду, крім того що є матрицями густини, завжди є проекторами і мають ранг, рівний $1.$

Наприклад, визначимо два вектори стану кубіта.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Матриці густини, що відповідають цим двом векторам, мають такий вигляд.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Нижче наведено таблицю з цими станами разом із кількома іншими базовими прикладами: $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle$ і $\vert {-}\rangle.$ З цими шістьма станами ми ще зустрінемося далі в уроці.

Вектор стану	Матриця густини
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Ще один приклад — стан із уроку «Одиночні системи» курсу «Основи квантової інформації», поданий як у вигляді вектора стану, так і у вигляді матриці густини.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Матриці густини виду $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ для деякого вектора квантового стану $\vert \psi \rangle$ називаються чистими станами. Не кожна матриця густини може бути записана в такій формі; деякі стани не є чистими.

Як матриці густини, чисті стани завжди мають одне власне значення, рівне $1$, а всі інші — рівні $0.$ Це узгоджується з інтерпретацією, згідно з якою власні значення матриці густини описують випадковість або невизначеність, властиву цьому стану. Фактично для чистого стану $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ невизначеності немає — стан точно є $\vert \psi \rangle.$

Загалом, для вектора квантового стану

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

системи з $n$ класичними станами, представлення того самого стану у вигляді матриці густини має такий вигляд.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Отже, для окремого випадку чистих станів можна впевнитися, що діагональні елементи матриці густини справді описують ймовірності появи кожного можливого класичного стану при вимірюванні у стандартному базисі.

На завершення відзначимо, що матриці густини усувають неоднозначність щодо глобальних фаз, яка властива векторам квантового стану. Припустимо, що маємо два вектори квантового стану, що відрізняються глобальною фазою: $\vert \psi \rangle$ та $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle$ для деякого дійсного числа $\theta.$ Оскільки вони відрізняються лише глобальною фазою, ці вектори описують один і той самий квантовий стан, хоча самі вектори можуть бути різними. Матриці густини, отримані з цих двох векторів стану, натомість є однаковими.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

Загалом матриці густини забезпечують унікальне представлення квантових станів: два квантових стани є однаковими, породжуючи рівно однакову статистику результатів для будь-якого можливого вимірювання, яке можна над ними провести, тоді й лише тоді, коли їхні матриці густини збігаються. Вживаючи математичну термінологію, це можна виразити так: матриці густини забезпечують точне представлення квантових станів.