Основи матриці густини

Почнемо з математичного опису матриць густини, а потім розглянемо кілька прикладів. Після цього обговоримо деякі базові властивості матриць густини та їхній зв'язок із квантовими векторами стану в спрощеному формулюванні квантової інформації.

Визначення

Припустимо, що маємо квантову систему з назвою $\mathsf{X}$, і нехай $\Sigma$ — це (скінченна і непорожня) множина класичних станів цієї системи. Тут ми дотримуємося угод про іменування, прийнятих у курсі «Основи квантової інформації», — і продовжимо це робити, коли виникне така нагода.

У загальному формулюванні квантової інформації квантовий стан системи $\mathsf{X}$ описується матрицею густини $\rho$, елементи якої є комплексними числами, а індекси (рядків і стовпців) відповідають множині класичних станів $\Sigma$. Грецька літера $\rho$ — традиційний перший вибір для назви матриці густини, хоча $\sigma$ та $\xi$ також вживаються досить часто.

Ось кілька прикладів матриць густини, що описують стани кубітів:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \begin{pmatrix} \frac{3}{4} & \frac{i}{8}\\[2mm] -\frac{i}{8} & \frac{1}{4} \end{pmatrix}, \quad\text{and}\quad \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0\\[2mm] 0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix}.$$

Казати, що $\rho$ є матрицею густини, означає, що виконуються обидві такі умови (їх пояснення наведемо нижче):

1. Одиничний слід: $\operatorname{Tr}(\rho) = 1.$

2. Додатна напіввизначеність: $\rho \geq 0.$

Слід матриці

Перша умова на матриці густини стосується сліду матриці. Це функція, визначена для всіх квадратних матриць як сума діагональних елементів:

$$\operatorname{Tr} \begin{pmatrix} \alpha_{0,0} & \alpha_{0,1} & \cdots & \alpha_{0,n-1}\\[1.5mm] \alpha_{1,0} & \alpha_{1,1} & \cdots & \alpha_{1,n-1}\\[1.5mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1.5mm] \alpha_{n-1,0} & \alpha_{n-1,1} & \cdots & \alpha_{n-1,n-1} \end{pmatrix} = \alpha_{0,0} + \alpha_{1,1} + \cdots + \alpha_{n-1,n-1}.$$

Слід — це лінійна функція: для будь-яких двох квадратних матриць $A$ і $B$ одного розміру та будь-яких двох комплексних чисел $\alpha$ і $\beta$ завжди виконується така рівність.

$$\operatorname{Tr}(\alpha A + \beta B) = \alpha \operatorname{Tr}(A) + \beta\operatorname{Tr}(B)$$

Слід — надзвичайно важлива функція, і про неї можна розповісти значно більше, але ми повернемося до цього, коли виникне потреба.

Додатно напіввизначені матриці

Друга умова стосується властивості матриці бути додатно напіввизначеною — фундаментальне поняття в теорії квантової інформації та в багатьох інших галузях. Матриця $P$ є додатно напіввизначеною, якщо існує матриця $M$ така, що

$$P = M^{\dagger} M.$$

При цьому можна або вимагати, щоб $M$ була квадратною матрицею того самого розміру, що й $P$, або дозволити їй бути неквадратною — в обох випадках отримаємо той самий клас матриць.

Існує кілька альтернативних (але еквівалентних) способів визначити цю умову, зокрема:

• Матриця $P$ є додатно напіввизначеною тоді й лише тоді, коли $P$ ермітова (тобто дорівнює своїй ермітово спряженій (спряженій транспонованій) матриці) і всі її власні значення є невід'ємними дійсними числами. Перевірка ермітовості та невід'ємності власних значень — простий обчислювальний спосіб впевнитися, що матриця є додатно напіввизначеною.

• Матриця $P$ є додатно напіввизначеною тоді й лише тоді, коли $\langle \psi \vert P \vert \psi \rangle \geq 0$ для кожного комплексного вектора $\vert\psi\rangle$ з тими самими індексами, що й рядки та стовпці $P$.

Інтуїтивно можна думати про додатно напіввизначені матриці як про матричні аналоги невід'ємних дійсних чисел. Тобто додатно напіввизначені матриці співвідносяться з комплексними квадратними матрицями так само, як невід'ємні дійсні числа — з комплексними числами. Наприклад, комплексне число $\alpha$ є невід'ємним дійсним числом тоді й лише тоді, коли

$$\alpha = \overline{\beta} \beta$$

для деякого комплексного числа $\beta$, що збігається з визначенням додатної напіввизначеності, якщо матриці замінити скалярами. Хоча матриці є загалом складнішими об'єктами, ніж скаляри, такий підхід все одно допомагає краще розуміти додатно напіввизначені матриці.

Це також пояснює стандартне позначення $P\geq 0$, яке вказує, що $P$ є додатно напіввизначеною. Зверни увагу, що в цьому контексті $P\geq 0$ не означає, що кожен елемент $P$ є невід'ємним; існують додатно напіввизначені матриці з від'ємними елементами, а також матриці з усіма додатними елементами, які проте не є додатно напіввизначеними.

Інтерпретація матриць густини

На цьому етапі визначення матриць густини може здатися доволі довільним і абстрактним, адже ми ще не надали жодного змісту цим матрицям та їхнім елементам. Те, як матриці густини працюють і як їх інтерпретувати, стане зрозумілішим у ході цього уроку, але зараз може бути корисно думати про елементи матриць густини в такий (дещо неформальний) спосіб.

• Діагональні елементи матриці густини дають нам ймовірності появи кожного класичного стану під час вимірювання у стандартному базисі — тому можна думати про ці елементи як про «вагу» або «ймовірність», пов'язану з кожним класичним станом.

• Позадіагональні елементи матриці густини описують ступінь квантової суперпозиції двох класичних станів, що відповідають цьому елементу (тобто стану, що відповідає рядку, і стану, що відповідає стовпцю), а також відносну фазу між ними.

Безумовно, апріорі зовсім не очевидно, що квантові стани мають представлятися матрицями густини. Насправді є певний сенс, у якому вибір представляти квантові стани матрицями густини природно породжує весь математичний апарат квантової інформації. Все інше у квантовій інформації фактично логічно випливає з цього одного вибору!

Зв'язок із векторами квантового стану

Пригадаємо, що вектор квантового стану $\vert\psi\rangle$, який описує квантовий стан системи $\mathsf{X}$, — це стовпцевий вектор з евклідовою нормою, рівною $1$, елементи якого відповідають множині класичних станів $\Sigma$. Представлення того самого стану у вигляді матриці густини $\rho$ визначається таким чином.

$$\rho = \vert\psi\rangle\langle\psi\vert$$

Зауважимо, що тут ми множимо стовпцевий вектор на рядковий вектор, у результаті отримуємо квадратну матрицю, рядки і стовпці якої відповідають $\Sigma$. Матриці такого вигляду, крім того що є матрицями густини, завжди є проекторами і мають ранг, рівний $1$.

Наприклад, визначимо два вектори стану кубіта.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle + \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \\[5mm] \vert {-i} \rangle & = \frac{1}{\sqrt{2}} \vert 0 \rangle - \frac{i}{\sqrt{2}} \vert 1 \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Матриці густини, що відповідають цим двом векторам, мають такий вигляд.

$$\begin{aligned} \vert {+i} \rangle\langle{+i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & - \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}\\[5mm] \vert {-i} \rangle\langle{-i}\vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Нижче наведено таблицю з цими станами разом із кількома іншими базовими прикладами: $\vert 0\rangle,$ $\vert 1\rangle,$ $\vert {+}\rangle$ і $\vert {-}\rangle.$ З цими шістьма станами ми ще зустрінемося далі в уроці.

Вектор стану	Матриця густини
$\vert 0\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\[1mm] 0 \end{pmatrix}$	$\vert 0\rangle\langle 0\vert = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[1mm] 0 & 0 \end{pmatrix}$
$\vert 1\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\[1mm] 1 \end{pmatrix}$	$\vert 1\rangle\langle 1\vert = \begin{pmatrix} 0 & 0\\[1mm] 0 & 1 \end{pmatrix}$
$\vert {+}\rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+}\rangle\langle {+}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2}\\[2mm] \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-}\rangle\langle {-}\vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}\\[2mm] -\frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {+i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] \frac{i}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$	$\vert {+i} \rangle\langle {+i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & -\frac{i}{2}\\[2mm] \frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\vert {-i} \rangle = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\[2mm] -\frac{i}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$	$\vert {-i} \rangle\langle {-i} \vert = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{i}{2}\\[2mm] -\frac{i}{2} & \frac{1}{2} \end{pmatrix}$

Ще один приклад — стан із уроку «Одиночні системи» курсу «Основи квантової інформації», поданий як у вигляді вектора стану, так і у вигляді матриці густини.

$$\vert v\rangle = \frac{1 + 2 i}{3}\,\vert 0\rangle - \frac{2}{3}\,\vert 1\rangle \qquad \vert v\rangle\langle v\vert = \begin{pmatrix} \frac{5}{9} & \frac{-2 - 4 i}{9}\\[2mm] \frac{-2 + 4 i}{9} & \frac{4}{9} \end{pmatrix}$$

Матриці густини виду $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ для деякого вектора квантового стану $\vert \psi \rangle$ називаються чистими станами. Не кожна матриця густини може бути записана в такій формі; деякі стани не є чистими.

Як матриці густини, чисті стани завжди мають одне власне значення, рівне $1$, а всі інші — рівні $0$. Це узгоджується з інтерпретацією, згідно з якою власні значення матриці густини описують випадковість або невизначеність, властиву цьому стану. Фактично для чистого стану $\rho = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$ невизначеності немає — стан точно є $\vert \psi \rangle$.

Загалом, для вектора квантового стану

$$\vert\psi\rangle = \begin{pmatrix} \alpha_0\\ \alpha_1\\ \vdots\\ \alpha_{n-1} \end{pmatrix}$$

системи з $n$ класичними станами, представлення того самого стану у вигляді матриці густини має такий вигляд.

$$\begin{aligned} \vert\psi\rangle\langle\psi\vert & = \begin{pmatrix} \alpha_0 \overline{\alpha_0} & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \alpha_1 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_{n-1}} \end{pmatrix}\\[10mm] & = \begin{pmatrix} \vert\alpha_0\vert^2 & \alpha_0 \overline{\alpha_1} & \cdots & \alpha_0 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \alpha_1 \overline{\alpha_0} & \vert\alpha_1\vert^2 & \cdots & \alpha_1 \overline{\alpha_{n-1}}\\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \alpha_{n-1} \overline{\alpha_0} & \alpha_{n-1} \overline{\alpha_1} & \cdots & \vert\alpha_{n-1}\vert^2 \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Отже, для окремого випадку чистих станів можна впевнитися, що діагональні елементи матриці густини справді описують ймовірності появи кожного можливого класичного стану при вимірюванні у стандартному базисі.

На завершення відзначимо, що матриці густини усувають неоднозначність щодо глобальних фаз, яка властива векторам квантового стану. Припустимо, що маємо два вектори квантового стану, що відрізняються глобальною фазою: $\vert \psi \rangle$ та $\vert \phi \rangle = e^{i \theta} \vert \psi \rangle$ для деякого дійсного числа $\theta.$ Оскільки вони відрізняються лише глобальною фазою, ці вектори описують один і той самий квантовий стан, хоча самі вектори можуть бути різними. Матриці густини, отримані з цих двох векторів стану, натомість є однаковими.

$$\vert \phi \rangle \langle \phi \vert = \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr) \bigl( e^{i\theta} \vert \psi \rangle \bigr)^{\dagger} = e^{i(\theta - \theta)} \vert \psi \rangle \langle \psi \vert = \vert \psi \rangle \langle \psi \vert$$

Загалом матриці густини забезпечують однозначне представлення квантових станів: два квантових стани є однаковими, породжуючи рівно однакову статистику результатів для будь-якого можливого вимірювання, яке можна над ними провести, тоді й лише тоді, коли їхні матриці густини збігаються. Вживаючи математичну термінологію, це можна виразити так: матриці густини забезпечують точне представлення квантових станів.