Розрізнення квантових станів і томографія

В останній частині уроку ми коротко розглянемо два завдання, пов'язані з вимірюваннями: розрізнення квантових станів і квантову томографію станів.

1. Розрізнення квантових станів

   При розрізненні квантових станів маємо відому множину квантових станів $\rho_0,\ldots,\rho_{m-1}$ разом з імовірностями $p_0,\ldots,p_{m-1},$ пов'язаними з цими станами. Стислий спосіб виразити це — сказати, що маємо ансамбль

   $$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\}$$

   квантових станів.

   Число $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ обирається випадково відповідно до імовірностей $(p_0,\ldots,p_{m-1}),$ і система $\mathsf{X}$ готується у стані $\rho_a.$ Мета — визначити, за допомогою вимірювання лише $\mathsf{X},$ яке значення $a$ було обрано.

   Отже, маємо скінченну кількість альтернатив разом з апріорним розподілом — тобто знанням імовірності кожного $a$ — і мета полягає в тому, щоб визначити, яка альтернатива насправді відбулась. Це може бути легким завданням для деяких виборів станів та імовірностей, а для інших — неможливим без ймовірності помилки.

2. Квантова томографія станів

   При квантовій томографії станів маємо невідомий квантовий стан системи — тому, на відміну від розрізнення квантових станів, зазвичай немає апріорного розподілу чи інформації про можливі альтернативи.

   Цього разу, однак, доступна не одна копія стану, а багато незалежних копій. Тобто $N$ ідентичних систем $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ кожна незалежно готується у стані $\rho$ для деякого (можливо, великого) числа $N.$ Мета — знайти наближення невідомого стану у вигляді матриці густини шляхом вимірювання систем.

Розрізнення двох станів

Найпростіший випадок розрізнення квантових станів — коли є два стани, $\rho_0$ і $\rho_1,$ які потрібно розрізнити.

Уявімо ситуацію, де біт $a$ обирається випадково: $a = 0$ з імовірністю $p$ і $a = 1$ з імовірністю $1 - p.$ Система $\mathsf{X}$ готується у стані $\rho_a,$ тобто $\rho_0$ або $\rho_1$ залежно від значення $a,$ і передається нам. Наша мета — правильно вгадати значення $a$ за допомогою вимірювання $\mathsf{X}.$ Точніше, ми прагнемо максимізувати ймовірність правильної відповіді.

Оптимальне вимірювання

Оптимальний спосіб розв'язання цієї задачі починається зі спектрального розкладу зваженої різниці між $\rho_0$ і $\rho_1,$ де ваги — це відповідні імовірності.

$$p \rho_0 - (1-p) \rho_1 = \sum_{k = 0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Зауважимо, що в цьому виразі знак мінус, а не плюс: це зважена різниця, а не зважена сума.

Максимізувати ймовірність правильної відповіді можна, обравши проєктивне вимірювання $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ таким чином. Спочатку розіб'ємо елементи $\{0,\ldots,n-1\}$ на дві непересічні множини $S_0$ і $S_1$ залежно від того, чи відповідне власне значення зваженої різниці є невід'ємним чи від'ємним.

$$\begin{gathered} S_0 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k \geq 0 \}\\[2mm] S_1 = \{k\in\{0,\ldots,n-1\} : \lambda_k < 0 \} \end{gathered}$$

Тоді можна обрати проєктивне вимірювання таким чином.

$$\Pi_0 = \sum_{k \in S_0} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert \quad\text{і}\quad \Pi_1 = \sum_{k \in S_1} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

(Насправді неважливо, до якої з множин $S_0$ або $S_1$ включати значення $k,$ для яких $\lambda_k = 0.$ Тут ми довільно включаємо ці значення до $S_0.$)

Це оптимальне вимірювання в даній ситуації, яке мінімізує ймовірність неправильного визначення обраного стану.

Імовірність правильності

Тепер визначимо імовірність правильності для вимірювання $\{\Pi_0,\Pi_1\}.$

Для початку не обов'язково брати до уваги конкретний вибір $\Pi_0$ і $\Pi_1,$ хоча корисно мати це на увазі. Для будь-якого вимірювання $\{P_0,P_1\}$ (не обов'язково проєктивного) можна записати ймовірність правильності таким чином.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)$$

Використовуючи те, що $\{P_0,P_1\}$ є вимірюванням, тобто $P_1 = \mathbb{I} - P_0,$ можна переписати цей вираз таким чином.

$$p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_0) \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(P_0 \rho_0) - (1 - p) \operatorname{Tr}(P_0 \rho_1) + (1-p) \operatorname{Tr}(\rho_1)\\[1mm] & = \operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1 - p \end{aligned}$$

З іншого боку, можна замість цього підставити $P_0 = \mathbb{I} - P_1.$ Це не змінить значення, але дасть альтернативний вираз.

$$p \operatorname{Tr}((\mathbb{I} - P_1) \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\hspace*{3cm}\\[1mm] \begin{aligned} & = p \operatorname{Tr}(\rho_0) - p \operatorname{Tr}(P_1 \rho_0) + (1 - p) \operatorname{Tr}(P_1 \rho_1)\\[1mm] & = p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) \end{aligned}$$

Обидва вирази мають однакове значення, тому можна взяти їхнє середнє, отримавши ще один вираз для цього значення. (Усереднення двох виразів — просто трюк для спрощення результуючого виразу.)

$$\frac{1}{2} \bigl(\operatorname{Tr}\bigl( P_0 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr) + 1-p\bigr) + \frac{1}{2} \bigl(p - \operatorname{Tr}\bigl( P_1 (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) \bigr)\bigr)\\ = \frac{1}{2} \operatorname{Tr}\bigl( (P_0-P_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) + \frac{1}{2}$$

Тепер ясно, чому доцільно обрати проєкції $\Pi_0$ і $\Pi_1$ (як зазначено вище) для $P_0$ і $P_1$ відповідно — саме так можна зробити слід у кінцевому виразі якомога більшим. Зокрема,

$$(\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert \cdot \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert.$$

Отже, беручи слід, отримуємо суму абсолютних значень власних значень — що дорівнює так званій слідовій нормі зваженої різниці.

$$\operatorname{Tr}\bigl( (\Pi_0-\Pi_1) (p \rho_0 - (1-p)\rho_1)\bigr) = \sum_{k = 0}^{n-1} \vert\lambda_k\vert = \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Таким чином, ймовірність того, що вимірювання $\{\Pi_0,\Pi_1\}$ призведе до правильного розрізнення $\rho_0$ і $\rho_1,$ заданих з імовірностями $p$ і $1-p$ відповідно, є такою.

$$\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \bigl\| p \rho_0 - (1-p)\rho_1 \bigr\|_1$$

Той факт, що це є оптимальною ймовірністю правильного розрізнення $\rho_0$ і $\rho_1,$ заданих з імовірностями $p$ і $1-p,$ зазвичай називають теоремою Гелстрома–Голево (або інколи просто теоремою Гелстрома).

Розрізнення трьох і більше станів

При розрізненні квантових станів, коли їх три або більше, не існує відомого замкнутого виразу для оптимального вимірювання, хоча задачу можна сформулювати як задачу напіввизначеного програмування — що дозволяє ефективно знаходити числові наближення оптимальних вимірювань за допомогою комп'ютера.

Також можна верифікувати (або фальсифікувати) оптимальність заданого вимірювання у задачі розрізнення станів за допомогою умови, відомої як умова Холево–Юена–Кеннеді–Лакса. Зокрема, для задачі розрізнення станів, заданої ансамблем

$$\{(p_0,\rho_0),\ldots,(p_{m-1},\rho_{m-1})\},$$

вимірювання $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ є оптимальним тоді і тільки тоді, коли матриця

$$Q_a = \sum_{b = 0}^{m-1} p_b \rho_b P_b - p_a \rho_a$$

є додатньо напіввизначеною для кожного $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

Наприклад, розглянемо задачу розрізнення квантових станів, де один з чотирьох тетраедральних станів $\vert\phi_0\rangle,\ldots,\vert\phi_3\rangle$ обирається рівномірно випадково. Тетраедральне вимірювання $\{P_0,P_1,P_2,P_3\}$ успішне з імовірністю

$$\frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_0 \vert\phi_0\rangle\langle \phi_0 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_1 \vert\phi_1\rangle\langle \phi_1 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_2 \vert\phi_2\rangle\langle \phi_2 \vert) + \frac{1}{4} \operatorname{Tr}(P_3 \vert\phi_3\rangle\langle \phi_3 \vert) = \frac{1}{2}.$$

Це є оптимальним за умовою Холево–Юена–Кеннеді–Лакса, що підтверджує обчислення:

$$Q_a = \frac{1}{4}(\mathbb{I} - \vert\phi_a\rangle\langle\phi_a\vert) \geq 0$$

для $a = 0,1,2,3.$

Квантова томографія станів

Наостанок коротко обговоримо задачу квантової томографії станів. У цій задачі дано велику кількість $N$ незалежних копій невідомого квантового стану $\rho,$ і мета — відновити наближення $\tilde{\rho}$ стану $\rho.$ Зрозуміло, що ми хочемо знайти класичний опис матриці густини $\tilde{\rho},$ що якомога ближча до $\rho.$

Іншими словами, постановку можна описати так. Обирається невідома матриця густини $\rho,$ і нам надається доступ до $N$ квантових систем $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N,$ кожна з яких незалежно підготовлена у стані $\rho.$ Таким чином, стан складеної системи $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ дорівнює

$$\rho^{\otimes N} = \rho \otimes \rho \otimes \cdots \otimes \rho \quad \text{($N$ разів)}$$

Мета — виконати вимірювання систем $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ і на основі їхніх результатів обчислити матрицю густини $\tilde{\rho},$ що добре наближає $\rho.$ Виявляється, це захоплива задача, і дослідження в ній тривають.

Можна розглядати різні типи стратегій для підходу до задачі. Наприклад, можна уявити стратегію, де кожна з систем $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ вимірюється окремо, по черзі, породжуючи послідовність результатів вимірювань. Можна робити різні конкретні вибори того, які вимірювання виконуються, включаючи адаптивний і неадаптивний підходи. Іншими словами, вибір вимірювання для певної системи може або не залежати від результатів попередніх вимірювань. На основі послідовності результатів вимірювань виводиться здогадка $\tilde{\rho}$ про стан $\rho$ — і знову є різні методології для цього.

Альтернативний підхід — виконати одне спільне вимірювання всієї колекції, розглядаючи $(\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N)$ як одну систему і обираючи одне вимірювання, виходом якого є здогадка $\tilde{\rho}$ про стан $\rho.$ Це може дати покращену оцінку порівняно з тим, що можливо при окремих вимірюваннях окремих систем, хоча спільне вимірювання всіх систем разом, мабуть, значно важче реалізувати.

Томографія кубіта за допомогою вимірювань Паулі

Тепер розглянемо квантову томографію станів у простому випадку, коли $\rho$ є матрицею густини кубіта. Припустимо, що нам дані кубіти $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N,$ кожен з яких незалежно перебуває у стані $\rho,$ і наша мета — обчислити наближення $\tilde{\rho},$ близьке до $\rho.$

Наша стратегія — поділити $N$ кубітів $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ на три приблизно рівні групи, по одній для кожної з трьох матриць Паулі $\sigma_x,$ $\sigma_y$ і $\sigma_z.$ Кожен кубіт вимірюється незалежно таким чином.

1. Для кожного кубіта в групі, пов'язаній з $\sigma_x,$ виконується $\sigma_x$-вимірювання. Це означає, що кубіт вимірюється відносно базису $\{\vert + \rangle, \vert -\rangle\},$ що є ортонормованим базисом власних векторів $\sigma_x,$ і відповідні результати вимірювання — це власні значення, пов'язані з двома власними векторами: $+1$ для стану $\vert + \rangle$ і $-1$ для стану $\vert -\rangle.$ Усереднюючи результати по всіх станах у групі, пов'язаній з $\sigma_x,$ отримуємо наближення математичного сподівання

   $$\langle + \vert \rho \vert + \rangle - \langle - \vert \rho \vert - \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho).$$

2. Для кожного кубіта в групі, пов'язаній з $\sigma_y,$ виконується $\sigma_y$-вимірювання. Таке вимірювання аналогічне $\sigma_x$-вимірюванню, за винятком того, що базисом вимірювання є $\{\vert\! +\!i \rangle, \vert\! -\!i \rangle\}$ — власні вектори $\sigma_y.$ Усереднюючи результати по всіх станах у групі, пов'язаній з $\sigma_y,$ отримуємо наближення математичного сподівання

   $$\langle +i \vert \rho \vert \!+\!i \rangle - \langle -i \vert \rho \vert \!-\!i \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho).$$

3. Для кожного кубіта в групі, пов'язаній з $\sigma_z,$ виконується $\sigma_z$-вимірювання. Цього разу базисом вимірювання є стандартний базис $\{\vert 0\rangle, \vert 1 \rangle\}$ — власні вектори $\sigma_z.$ Усереднюючи результати по всіх станах у групі, пов'язаній з $\sigma_z,$ отримуємо наближення математичного сподівання

   $$\langle 0 \vert \rho \vert 0 \rangle - \langle 1 \vert \rho \vert 1 \rangle = \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho).$$

Отримавши наближення

$$\alpha_x \approx \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho),\; \alpha_y \approx \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho),\; \alpha_z \approx \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho)$$

шляхом усереднення результатів вимірювань для кожної групи, можна наблизити $\rho$ як

$$\tilde{\rho} = \frac{\mathbb{I} + \alpha_x \sigma_x + \alpha_y \sigma_y + \alpha_z \sigma_z}{2} \approx \frac{\mathbb{I} + \operatorname{Tr}(\sigma_x \rho) \sigma_x + \operatorname{Tr}(\sigma_y \rho) \sigma_y + \operatorname{Tr}(\sigma_z \rho) \sigma_z}{2} = \rho.$$

У границі при $N\to\infty$ це наближення збігається за ймовірністю до справжньої матриці густини $\rho$ за законом великих чисел, а добре відомі статистичні оцінки (наприклад, нерівність Хефдінга) дозволяють оцінити ймовірність відхилення наближення $\tilde{\rho}$ від $\rho$ на різні величини.

Проте важливо зауважити, що матриця $\tilde{\rho},$ отримана таким чином, може не бути матрицею густини. Зокрема, хоча її слід завжди дорівнюватиме $1,$ вона може не бути додатньо напіввизначеною. Існують різні відомі стратегії «округлення» такого наближення $\tilde{\rho}$ до матриці густини; одна з них — обчислити спектральний розклад, замінити від'ємні власні значення нулями і потім нормувати (розділивши отриману матрицю на її слід).

Томографія кубіта за допомогою тетраедрального вимірювання

Інший варіант томографії кубіта — вимірювати кожен кубіт $\mathsf{X}_1,\ldots,\mathsf{X}_N$ за допомогою тетраедрального вимірювання $\{P_0,P_1,P_2,P_3\},$ описаного раніше. Тобто

$$P_0 = \frac{\vert \phi_0 \rangle \langle \phi_0 \vert}{2}, \quad P_1 = \frac{\vert \phi_1 \rangle \langle \phi_1 \vert}{2}, \quad P_2 = \frac{\vert \phi_2 \rangle \langle \phi_2 \vert}{2}, \quad P_3 = \frac{\vert \phi_3 \rangle \langle \phi_3 \vert}{2}$$

для

$$\begin{aligned} \vert \phi_0 \rangle & = \vert 0 \rangle\\ \vert \phi_1 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_2 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{2\pi i/3} \vert 1 \rangle\\ \vert \phi_3 \rangle & = \frac{1}{\sqrt{3}} \vert 0 \rangle + \sqrt{\frac{2}{3}} e^{-2\pi i/3} \vert 1 \rangle. \end{aligned}$$

Кожен результат отримується деяку кількість разів, яку ми позначимо $n_a$ для кожного $a\in\{0,1,2,3\},$ так що $n_0 + n_1 + n_2 + n_3 = N.$ Відношення цих чисел до $N$ дає оцінку ймовірності кожного можливого результату:

$$\frac{n_a}{N} \approx \operatorname{Tr}(P_a \rho).$$

Нарешті, скористаємось такою чудовою формулою:

$$\rho = \sum_{a=0}^3 \Bigl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \rho) - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Щоб встановити цю формулу, можна скористатися таким рівнянням для квадратів модулів скалярних добутків тетраедральних станів, яке можна перевірити безпосереднім обчисленням.

$$\bigl\vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \bigr\vert^2 = \begin{cases} 1 & a=b\\ \frac{1}{3} & a\neq b. \end{cases}$$

Чотири матриці

$$\begin{aligned} \vert\phi_0\rangle \langle \phi_0 \vert & = \begin{pmatrix} 1 & 0\\[2mm] 0 & 0\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_1\rangle \langle \phi_1 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_2\rangle \langle \phi_2 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix}\\[3mm] \vert\phi_3\rangle \langle \phi_3 \vert & = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{\sqrt{2}}{3}e^{2\pi i/3}\\[2mm] \frac{\sqrt{2}}{3}e^{-2\pi i/3} & \frac{2}{3}\end{pmatrix} \end{aligned}$$

лінійно незалежні, тому достатньо довести формулу для $\rho = \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert$ при $b = 0,1,2,3.$ Зокрема,

$$3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \vert \langle \phi_a \vert \phi_b \rangle \vert^2 - \frac{1}{2} = \begin{cases} 1 & a=b\\ 0 & a\neq b \end{cases}$$

і тому

$$\sum_{a=0}^3 \biggl( 3 \operatorname{Tr}(P_a \vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert) - \frac{\operatorname{Tr}(\vert\phi_b\rangle\langle\phi_b\vert)}{2}\biggr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert = \vert \phi_b\rangle\langle \phi_b \vert.$$

Отримуємо наближення $\rho$:

$$\tilde{\rho} = \sum_{a=0}^3 \Bigl( \frac{3 n_a}{N} - \frac{1}{2}\Bigr) \vert \phi_a \rangle \langle \phi_a \vert.$$

Це наближення завжди буде ермітовою матрицею зі слідом, що дорівнює одиниці, але може не бути додатньо напіввизначеною. У такому випадку наближення потрібно «округлити» до матриці густини, аналогічно до стратегії з вимірюваннями Паулі.