Теорема Наймарка

Теорема Наймарка є фундаментальним фактом, що стосується вимірювань. Вона стверджує, що кожне загальне вимірювання можна реалізувати простим способом, який нагадує представлення Стайнспринга для каналів:

1. Спочатку система, яку потрібно виміряти, об'єднується з ініціалізованою робочою системою, утворюючи складену систему.
2. Потім над складеною системою виконується унітарна операція.
3. Нарешті, робоча система вимірюється відносно вимірювання у стандартному базисі, що дає результат вихідного загального вимірювання.

Формулювання теореми та доведення

Нехай $\mathsf{X}$ — система, а $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\}$ — набір додатно напіввизначених матриць, що задовольняють

$$P_0 + \cdots + P_{m-1} = \mathbb{I}_{\mathsf{X}},$$

тобто вони описують вимірювання $\mathsf{X}.$ Також нехай $\mathsf{Y}$ — система, класична множина станів якої є $\{0,\ldots,m-1\},$ — це множина можливих результатів цього вимірювання.

Теорема Наймарка стверджує, що існує унітарна операція $U$ над складеною системою $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ така, що реалізація, запропонована наступним рисунком, дає результати вимірювання, що збігаються із заданим вимірюванням $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\},$ тобто ймовірності різних можливих результатів вимірювання точно збігаються.

Уточнимо: система $\mathsf{X}$ починає в деякому довільному стані $\rho,$ тоді як $\mathsf{Y}$ ініціалізується у стані $\vert 0\rangle.$ Унітарна операція $U$ застосовується до $(\mathsf{Y},\mathsf{X}),$ після чого система $\mathsf{Y}$ вимірюється вимірюванням у стандартному базисі, що дає деякий результат $a\in\{0,\ldots,m-1\}.$

Система $\mathsf{X}$ зображена як частина виходу схеми, але поки ми не будемо займатися станом $\mathsf{X}$ після виконання $U,$ і можна вважати, що вона відслідковується. Проте пізніше в уроці нас зацікавить стан $\mathsf{X}$ після виконання $U.$

Така реалізація вимірювання явно нагадує представлення Стайнспринга для каналу, і математичні підстави також подібні. Відмінність тут полягає в тому, що робоча система вимірюється, а не відслідковується, як у випадку представлення Стайнспринга.

Те, що кожне вимірювання можна реалізувати таким чином, досить просто довести, але спочатку нам знадобиться факт про додатно напіввизначені матриці.

Факт

Припустимо, що $P$ є $n \times n$ додатно напіввизначеною матрицею. Існує єдина $n\times n$ додатно напіввизначена матриця $Q,$ для якої $Q^2 = P.$ Ця єдина додатно напіввизначена матриця називається квадратним коренем з $P$ і позначається $\sqrt{P}.$

Один зі способів знайти квадратний корінь з додатно напіввизначеної матриці — спочатку обчислити спектральний розклад.

$$P = \sum_{k=0}^{n-1} \lambda_k \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Оскільки $P$ є додатно напіввизначеною, її власні значення мають бути невід'ємними дійсними числами, і замінивши їх на їхні квадратні корені, отримаємо вираз для квадратного кореня з $P.$

$$\sqrt{P} = \sum_{k=0}^{n-1} \sqrt{\lambda_k} \vert \psi_k \rangle \langle \psi_k \vert$$

Маючи цю концепцію, готові довести теорему Наймарка. Припускаючи, що $\mathsf{X}$ має $n$ класичних станів, унітарну операцію $U$ над парою $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ можна представити матрицею $nm\times nm,$ яку можна розглядати як блочну матрицю $m\times m,$ блоки якої є матрицями $n\times n.$ Ключ до доведення — взяти $U$ як будь-яку унітарну матрицю, що відповідає наступному шаблону.

$$U = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

Щоб можна було заповнити блоки, позначені знаком питання, так, щоб $U$ була унітарною, необхідно і достатньо, щоб перші $n$ стовпців, утворені блоками $\sqrt{P_0},\ldots,\sqrt{P_{m-1}},$ були ортонормованими. Потім можна використати процес ортогоналізації Грама-Шмідта для заповнення решти стовпців, як ми бачили в попередньому уроці.

Перші $n$ стовпців $U$ можна виразити як вектори таким чином, де $c = 0,\ldots,n-1$ — номер стовпця, починаючи з $0.$

$$\vert\gamma_c\rangle = \sum_{a = 0}^{m-1} \vert a \rangle \otimes \sqrt{P_a} \vert c\rangle$$

Обчислимо скалярний добуток між будь-якими двома з них.

$$\langle \gamma_c \vert \gamma_d \rangle = \sum_{a,b = 0}^{m-1} \langle a \vert b \rangle \cdot \langle c \vert \sqrt{P_a}\sqrt{P_b}\, \vert d\rangle = \langle c \vert \Biggl(\sum_{a = 0}^{m-1} P_a \Biggr) \vert d\rangle = \langle c \vert d\rangle$$

Це показує, що ці стовпці насправді є ортонормованими, тому можна заповнити решту стовпців $U$ так, щоб гарантувати, що вся матриця є унітарною.

Залишається перевірити, що ймовірності результатів вимірювання для симуляції узгоджуються з вихідним вимірюванням. Для заданого початкового стану $\rho$ системи $\mathsf{X},$ вимірювання, описане набором $\{P_0,\ldots,P_{m-1}\},$ дає кожен результат $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ з ймовірністю $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

Щоб отримати ймовірності результатів для симуляції, назвемо $\sigma$ стан $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ після виконання $U.$ Цей стан можна виразити так.

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}$$

Еквівалентно, у формі блочної матриці маємо таке рівняння.

$$\begin{aligned} \sigma & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \sqrt{P_1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \sqrt{P_0} & \sqrt{P_1} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \fbox{?} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}\\[5mm] & = \begin{pmatrix} \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_0}\rho\sqrt{P_{m-1}} \\[1mm] \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_0} & \cdots & \sqrt{P_{m-1}}\rho\sqrt{P_{m-1}} \end{pmatrix} \end{aligned}$$

Зауважимо, що елементи $U,$ що потрапляють у блоки, позначені знаком питання, не впливають на результат завдяки тому, що ми спрягаємо матрицю вигляду $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ — адже елементи зі знаком питання завжди множаться на нульові елементи $\vert 0 \rangle \langle 0 \vert \otimes \rho$ при обчисленні добутку матриць.

Тепер можемо проаналізувати, що відбувається при виконанні вимірювання у стандартному базисі над $\mathsf{Y}.$ Ймовірності можливих результатів визначаються діагональними елементами редукованого стану $\sigma_{\mathsf{Y}}$ системи $\mathsf{Y}.$

$$\sigma_{\mathsf{Y}} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}\Bigr) \vert a\rangle \langle b \vert$$

Зокрема, використовуючи циклічну властивість сліду, бачимо, що ймовірність отримати заданий результат $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ така.

$$\langle a \vert \sigma_{\mathsf{Y}} \vert a \rangle = \operatorname{Tr}\Bigl(\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}\Bigr) = \operatorname{Tr}(P_a \rho)$$

Це збігається з вихідним вимірюванням, підтверджуючи правильність симуляції.

Нерозкладальні вимірювання

До цього моменту в уроці ми розглядали розкладальні вимірювання, де вивід складається лише з класичного результату вимірювання, без специфікації квантового стану системи, що вимірювалась, після вимірювання.

Нерозкладальні вимірювання, навпаки, роблять саме це. Зокрема, нерозкладальні вимірювання описують не лише ймовірності класичних результатів вимірювання, але й стан системи, що вимірювалась, з урахуванням кожного можливого результату. Зауважимо, що термін нерозкладальне стосується системи, яка вимірюється, але не обов'язково її стану, який може суттєво змінитися в результаті вимірювання.

Загалом, для заданого розкладального вимірювання існує кілька (насправді нескінченно багато) нерозкладальних вимірювань, сумісних із заданим розкладальним вимірюванням, тобто таких, що ймовірності класичних результатів точно збігаються з розкладальним вимірюванням. Тому немає єдиного способу визначити стан квантової системи після вимірювання для заданого вимірювання.

Насправді можна ще більше узагальнити нерозкладальні вимірювання, щоб вони давали класичний результат вимірювання разом із квантовим станом системи на виході, яка не обов'язково збігається з вхідною системою.

Поняття нерозкладального вимірювання є цікавою та корисною абстракцією. Проте слід розуміти, що нерозкладальні вимірювання завжди можна описати як композиції каналів і розкладальних вимірювань — тому в певному сенсі поняття розкладального вимірювання є більш фундаментальним.

З теореми Наймарка

Розглянемо симуляцію загального вимірювання, як у теоремі Наймарка. Простий спосіб отримати нерозкладальне вимірювання з цієї симуляції випливає з попереднього рисунка, де система $\mathsf{X}$ не відслідковується, а є частиною виходу. Це дає як класичний результат вимірювання $a\in\{0,\ldots,m-1\},$ так і стан $\mathsf{X}$ після вимірювання.

Опишемо ці стани математично. Припускаємо, що початковий стан $\mathsf{X}$ є $\rho,$ тому після введення ініціалізованої системи $\mathsf{Y}$ та виконання $U$ маємо, що $(\mathsf{Y},\mathsf{X})$ знаходиться у стані

$$\sigma = U \bigl(\vert 0\rangle \langle 0 \vert \otimes \rho\bigr) U^{\dagger} = \sum_{a,b=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle b \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b}.$$

Ймовірності появи різних класичних результатів такі самі, як і раніше — вони не можуть змінитися від того, що ми вирішили ігнорувати або не ігнорувати $\mathsf{X}.$ Тобто ми отримуємо кожне $a\in\{0,\ldots,m-1\}$ з ймовірністю $\operatorname{Tr}(P_a \rho).$

За умови отримання конкретного результату вимірювання $a,$ стан $\mathsf{X}$ що виходить, задається цим виразом.

$$\frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}$$

Один зі способів побачити це — представити вимірювання у стандартному базисі $\mathsf{Y}$ повністю дефазуючим каналом $\Delta_m,$ де вивід каналу описує класичні результати вимірювання як (діагональні) матриці густини. Вираз стану, який ми отримуємо, такий.

$$\sum_{a,b=0}^{m-1} \Delta_m(\vert a\rangle \langle b \vert) \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_b} = \sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}.$$

Потім можемо записати цей стан як опуклу комбінацію добутних станів,

$$\sum_{a=0}^{m-1} \operatorname{Tr}(P_a \rho)\, \vert a\rangle \langle a \vert \otimes \frac{\sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)},$$

що узгоджується з отриманим нами виразом для стану $\mathsf{X}$ з урахуванням кожного можливого результату вимірювання.

З представлення Крауса

Існують альтернативні варіанти вибору $U$ у контексті теореми Наймарка, які дають ті ж ймовірності результатів вимірювання, але зовсім різні вихідні стани $\mathsf{X}.$

Наприклад, один варіант — замінити $(\mathbb{I}_{\mathsf{Y}} \otimes V) U$ на $U,$ де $V$ — будь-яка унітарна операція на $\mathsf{X}.$ Застосування $V$ до $\mathsf{X}$ комутує з вимірюванням $\mathsf{Y},$ тому ймовірності класичних результатів не змінюються, але тепер стан $\mathsf{X}$ з урахуванням результату $a$ стає

$$\frac{V \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Більш загально, можна замінити $U$ унітарною матрицею

$$\Biggl(\sum_{a=0}^{m-1} \vert a\rangle\langle a \vert \otimes V_a\Biggr) U$$

для будь-якого вибору унітарних операцій $V_0,\ldots,V_{m-1}$ на $\mathsf{X}.$ Знову ж таки, ймовірності класичних результатів незмінні, але тепер стан $\mathsf{X}$ з урахуванням результату $a$ стає

$$\frac{V_a \sqrt{P_a} \rho \sqrt{P_a}V_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(P_a \rho)}.$$

Еквівалентний спосіб виразити цю свободу пов'язаний з представленнями Крауса. Тобто можна описати нерозкладальне вимірювання з $m$ результатами для системи з $n$ класичними станами вибором $n\times n$ матриць Крауса $A_0,\ldots,A_{m-1},$ що задовольняють типовій умові для матриць Крауса.

$$\sum_{a = 0}^{m-1} A_a^{\dagger} A_a = \mathbb{I}_{\mathsf{X}} \tag{1}$$

Припускаючи, що початковий стан $\mathsf{X}$ є $\rho,$ класичний результат вимірювання є $a$ з ймовірністю

$$\operatorname{Tr}\bigl(A_a \rho A_a^{\dagger}\bigr) = \operatorname{Tr}\bigl(A_a^{\dagger} A_a \rho \bigr)$$

і за умови, що результат є $a,$ стан $\mathsf{X}$ стає

$$\frac{A_a \rho A_a^{\dagger}}{\operatorname{Tr}(A_a^{\dagger}A_a \rho)}.$$

Зауважимо, що це еквівалентно вибору унітарної операції $U$ у теоремі Наймарка таким чином.

$$U = \begin{pmatrix} A_{0} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] A_{1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \\[1mm] \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\[1mm] A_{m-1} & \fbox{?} & \cdots & \fbox{?} \end{pmatrix}$$

У попередньому уроці ми зазначили, що стовпці, утворені блоками $A_0,\ldots,A_{m-1},$ обов'язково ортогональні завдяки умові $(1).$

Узагальнення

Існують ще більш загальні способи формулювання нерозкладальних вимірювань, ніж ті, що ми обговорили. Поняття квантового інструменту (яке тут не описується) представляє один зі способів зробити це.