Перейти до основного вмісту

Зворотне поширення оператора (OBP) для оцінки значень очікування

Оцінка використання: 16 хвилин на процесорі Eagle r3 (ПРИМІТКА: Це лише оцінка. Ваш час виконання може відрізнятися.)

# Added by doQumentation — required packages for this notebook
!pip install -q matplotlib numpy qiskit qiskit-addon-obp qiskit-addon-utils qiskit-ibm-runtime rustworkx
# This cell is hidden from users;
# it disables linting rules.
# ruff: noqa

Передумови​

Зворотне поширення оператора — це техніка, яка передбачає поглинання операцій з кінця квантового ланцюга у вимірювану спостережувану величину, що зазвичай зменшує глибину ланцюга за рахунок додаткових термів у спостережуваній величині. Мета полягає у зворотному поширенні якомога більшої частини ланцюга без надмірного зростання спостережуваної величини. Реалізація на основі Qiskit доступна в доповненні OBP Qiskit, більше деталей можна знайти у відповідній документації з простим прикладом для початку роботи.

Розглянемо приклад ланцюга, для якого необхідно виміряти спостережувану величину O=∑PcPPO = \sum_P c_P P, де PP — це паулі, а cPc_P — коефіцієнти. Позначимо ланцюг як єдиний унітарний оператор UU, який можна логічно розділити на U=UCUQU = U_C U_Q, як показано на малюнку нижче.

Circuit diagram showing Uq followed by Uc

Зворотне поширення оператора поглинає унітарний оператор UCU_C у спостережувану величину шляхом її еволюції як O′=UC†OUC=∑PcPUC†PUCO' = U_C^{\dagger}OU_C = \sum_P c_P U_C^{\dagger}PU_C. Іншими словами, частина обчислення виконується класично через еволюцію спостережуваної величини від OO до O′O'. Початкову задачу тепер можна переформулювати як вимірювання спостережуваної величини O′O' для нового ланцюга меншої глибини, унітарний оператор якого є UQU_Q.

Унітарний оператор UCU_C представлений у вигляді кількох зрізів UC=USUS−1...U2U1U_C = U_S U_{S-1}...U_2U_1. Існує декілька способів визначення зрізу. Наприклад, у наведеному вище прикладі ланцюга кожен шар RzzR_{zz} та кожен шар вентилів RxR_x можна розглядати як окремий зріз. Зворотне поширення передбачає обчислення O′=Πs=1S∑PcPUs†PUsO' = \Pi_{s=1}^S \sum_P c_P U_s^{\dagger} P U_s класичним способом. Кожен зріз UsU_s можна представити як Us=exp(−iθsPs2)U_s = exp(\frac{-i\theta_s P_s}{2}), де PsP_s є nn-кубітним Паулі, а θs\theta_s — скаляром. Легко перевірити, що

Us†PUs=Pif [P,Ps]=0,U_s^{\dagger} P U_s = P \qquad \text{if} ~[P,P_s] = 0, Us†PUs=cos(θs)P+isin(θs)PsPif {P,Ps}=0U_s^{\dagger} P U_s = \qquad cos(\theta_s)P + i sin(\theta_s)P_sP \qquad \text{if} ~\{P,P_s\} = 0

У наведеному вище прикладі, якщо {P,Ps}=0\{P,P_s\} = 0, тоді нам потрібно виконати два квантових ланцюги замість одного для обчислення значення очікування. Таким чином, зворотне поширення може збільшити кількість термів у спостережуваній величині, що призводить до більшої кількості виконань ланцюга. Одним із способів дозволити глибше зворотне поширення у ланцюг, запобігаючи надмірному зростанню оператора, є усічення термів з малими коефіцієнтами замість їх додавання до оператора. Наприклад, у наведеному вище прикладі можна вибрати усічення терму, що містить PsPP_sP, за умови, що θs\theta_s достатньо малий. Усічення термів може призвести до меншої кількості квантових ланцюгів для виконання, але це призводить до певної похибки у кінцевому обчисленні значення очікування, пропорційної величині коефіцієнтів усічених термів.

Цей посібник реалізує патерн Qiskit для симуляції квантової динаміки спінового ланцюга Гейзенберга за допомогою qiskit-addon-obp.

Вимоги​

Перед початком цього посібника переконайтеся, що Ви встановили наступне:

  • Qiskit SDK v1.2 або пізніше (pip install qiskit)
  • Qiskit Runtime v0.28 або пізніше (pip install qiskit-ibm-runtime)
  • Доповнення OBP Qiskit (pip install qiskit-addon-obp)
  • Утиліти доповнення Qiskit (pip install qiskit-addon-utils)

Налаштування​

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

from qiskit.primitives import StatevectorEstimator as Estimator
from qiskit.transpiler.preset_passmanagers import generate_preset_pass_manager
from qiskit.quantum_info import SparsePauliOp
from qiskit.transpiler import CouplingMap
from qiskit.synthesis import LieTrotter

from qiskit_addon_utils.problem_generators import generate_xyz_hamiltonian
from qiskit_addon_utils.problem_generators import (
    generate_time_evolution_circuit,
)
from qiskit_addon_utils.slicing import slice_by_gate_types, combine_slices
from qiskit_addon_obp.utils.simplify import OperatorBudget
from qiskit_addon_obp import backpropagate
from qiskit_addon_obp.utils.truncating import setup_budget

from rustworkx.visualization import graphviz_draw

from qiskit_ibm_runtime import QiskitRuntimeService
from qiskit_ibm_runtime import EstimatorV2, EstimatorOptions

Частина I: Малий спіновий ланцюг Гейзенберга​

Крок 1: Відображення класичних вхідних даних на квантову задачу​

Відобразіть еволюцію в часі квантової моделі Гейзенберга на квантовий експеримент.​

Пакет qiskit_addon_utils надає деякі функціональні можливості багаторазового використання для різних цілей.

Його модуль qiskit_addon_utils.problem_generators надає функції для генерації гамільтоніанів типу Гейзенберга на заданому графі зв'язності. Цей граф може бути або rustworkx.PyGraph, або CouplingMap, що робить його зручним для використання в робочих процесах на основі Qiskit.

Нижче ми генеруємо лінійний ланцюг CouplingMap з 10 кубітів.

num_qubits = 10
layout = [(i - 1, i) for i in range(1, num_qubits)]

# Instantiate a CouplingMap object
coupling_map = CouplingMap(layout)
graphviz_draw(coupling_map.graph, method="circo")

Output of the previous code cell

Далі ми генеруємо оператор Паулі, що моделює гамільтоніан Гейзенберга XYZ.

H^XYZ=∑(j,k)∈E(Jxσjxσkx+Jyσjyσky+Jzσjzσkz)+∑j∈V(hxσjx+hyσjy+hzσjz){\hat{\mathcal{H}}_{XYZ} = \sum_{(j,k)\in E} (J_{x} \sigma_j^{x} \sigma_{k}^{x} + J_{y} \sigma_j^{y} \sigma_{k}^{y} + J_{z} \sigma_j^{z} \sigma_{k}^{z}) + \sum_{j\in V} (h_{x} \sigma_j^{x} + h_{y} \sigma_j^{y} + h_{z} \sigma_j^{z})}

Де G(V,E)G(V,E) є графом карти зв'язності, що надається.

# Get a qubit operator describing the Heisenberg XYZ model
hamiltonian = generate_xyz_hamiltonian(
    coupling_map,
    coupling_constants=(np.pi / 8, np.pi / 4, np.pi / 2),
    ext_magnetic_field=(np.pi / 3, np.pi / 6, np.pi / 9),
)
print(hamiltonian)
SparsePauliOp(['IIIIIIIXXI', 'IIIIIIIYYI', 'IIIIIIIZZI', 'IIIIIXXIII', 'IIIIIYYIII', 'IIIIIZZIII', 'IIIXXIIIII', 'IIIYYIIIII', 'IIIZZIIIII', 'IXXIIIIIII', 'IYYIIIIIII', 'IZZIIIIIII', 'IIIIIIIIXX', 'IIIIIIIIYY', 'IIIIIIIIZZ', 'IIIIIIXXII', 'IIIIIIYYII', 'IIIIIIZZII', 'IIIIXXIIII', 'IIIIYYIIII', 'IIIIZZIIII', 'IIXXIIIIII', 'IIYYIIIIII', 'IIZZIIIIII', 'XXIIIIIIII', 'YYIIIIIIII', 'ZZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIX', 'IIIIIIIIIY', 'IIIIIIIIIZ', 'IIIIIIIIXI', 'IIIIIIIIYI', 'IIIIIIIIZI', 'IIIIIIIXII', 'IIIIIIIYII', 'IIIIIIIZII', 'IIIIIIXIII', 'IIIIIIYIII', 'IIIIIIZIII', 'IIIIIXIIII', 'IIIIIYIIII', 'IIIIIZIIII', 'IIIIXIIIII', 'IIIIYIIIII', 'IIIIZIIIII', 'IIIXIIIIII', 'IIIYIIIIII', 'IIIZIIIIII', 'IIXIIIIIII', 'IIYIIIIIII', 'IIZIIIIIII', 'IXIIIIIIII', 'IYIIIIIIII', 'IZIIIIIIII', 'XIIIIIIIII', 'YIIIIIIIII', 'ZIIIIIIIII'],
              coeffs=[0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j])

З кубітного оператора ми можемо згенерувати квантовий ланцюг, який моделює його еволюцію в часі. Знову ж таки, модуль qiskit_addon_utils.problem_generators приходить на допомогу з зручною функцією для цього:

circuit = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian,
    time=0.2,
    synthesis=LieTrotter(reps=2),
)
circuit.draw("mpl", style="iqp", scale=0.6)

Output of the previous code cell

Крок 2: Оптимізація задачі для виконання на квантовому обладнанні​

Створіть зрізи ланцюга для зворотного поширення​

Пам'ятайте, що функція backpropagate буде виконувати зворотне поширення цілих зрізів ланцюга за один раз, тому вибір способу розділення на зрізи може вплинути на те, наскільки добре працює зворотне поширення для даної задачі. Тут ми згрупуємо вентилі одного типу у зрізи за допомогою функції slice_by_gate_types.

Для більш детального обговорення розділення ланцюга на зрізи ознайомтеся з цим практичним посібником пакета qiskit-addon-utils.

slices = slice_by_gate_types(circuit)
print(f"Separated the circuit into {len(slices)} slices.")
Separated the circuit into 18 slices.

Обмежте, наскільки може зрости оператор під час зворотного поширення​

Під час зворотного поширення кількість термів в операторі, як правило, швидко наближатиметься до 4N4^N, де NN — кількість кубітів. Коли два терми в операторі не комутують покубітно, нам потрібні окремі ланцюги для отримання значень очікування, що відповідають їм. Наприклад, якщо ми маємо 2-кубітну спостережувану величину O=0.1XX+0.3IZ−0.5IXO = 0.1 XX + 0.3 IZ - 0.5 IX, то оскільки [XX,IX]=0[XX,IX] = 0, вимірювання в одному базисі достатньо для обчислення значень очікування для цих двох термів. Однак, IZIZ антикомутує з двома іншими термами. Тому нам потрібне окреме вимірювання в базисі для обчислення значення очікування IZIZ. Іншими словами, нам потрібно два ланцюги замість одного для обчислення ⟨O⟩\langle O \rangle. Зі збільшенням кількості термів в операторі існує можливість, що необхідна кількість виконань ланцюга також збільшується.

Розмір оператора може бути обмежений шляхом вказівки аргументу operator_budget функції backpropagate, яка приймає екземпляр OperatorBudget.

Щоб контролювати кількість додаткових ресурсів (часу), що виділяються, ми обмежуємо максимальну кількість покубітно комутуючих груп Паулі, яку дозволено мати зворотно поширеній спостережуваній величині. Тут ми вказуємо, що зворотне поширення має зупинитися, коли кількість покубітно комутуючих груп Паулі в операторі перевищить 8.

op_budget = OperatorBudget(max_qwc_groups=8)

Виконайте зворотне поширення зрізів з ланцюга​

Спочатку ми вказуємо спостережувану величину як MZ=1N∑i=1N⟨Zi⟩M_Z = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \langle Z_i \rangle, де NN — кількість кубітів. Ми виконаємо зворотне поширення зрізів з ланцюга еволюції в часі, поки терми у спостережуваній величині більше не можна буде об'єднати у вісім або менше покубітно комутуючих груп Паулі.

observable = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("Z", [i], 1 / num_qubits) for i in range(num_qubits)],
    num_qubits=num_qubits,
)
observable
SparsePauliOp(['IIIIIIIIIZ', 'IIIIIIIIZI', 'IIIIIIIZII', 'IIIIIIZIII', 'IIIIIZIIII', 'IIIIZIIIII', 'IIIZIIIIII', 'IIZIIIIIII', 'IZIIIIIIII', 'ZIIIIIIIII'],
              coeffs=[0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j, 0.1+0.j,
 0.1+0.j, 0.1+0.j])

Нижче Ви побачите, що ми виконали зворотне поширення шести зрізів, і терми були об'єднані у шість, а не вісім груп. Це означає, що зворотне поширення ще одного зрізу призведе до того, що кількість груп Паулі перевищить вісім. Ми можемо переконатися, що це так, перевіривши повернені метадані. Також зауважте, що в цій частині перетворення ланцюга є точним. Тобто жоден з термів нової спостережуваної величини O′O' не було усічено. Ланцюг зі зворотним поширенням та оператор зі зворотним поширенням дають точний результат, як початковий ланцюг та оператор.

# Backpropagate slices onto the observable
bp_obs, remaining_slices, metadata = backpropagate(
    observable, slices, operator_budget=op_budget
)
# Recombine the slices remaining after backpropagation
bp_circuit = combine_slices(remaining_slices)

print(f"Backpropagated {metadata.num_backpropagated_slices} slices.")
print(
    f"New observable has {len(bp_obs.paulis)} terms, which can be combined into {len(bp_obs.group_commuting(qubit_wise=True))} groups."
)
print(
    f"Note that backpropagating one more slice would result in {metadata.backpropagation_history[-1].num_paulis[0]} terms "
    f"across {metadata.backpropagation_history[-1].num_qwc_groups} groups."
)
print("The remaining circuit after backpropagation looks as follows:")
bp_circuit.draw("mpl", fold=-1, scale=0.6)
Backpropagated 6 slices.
New observable has 60 terms, which can be combined into 6 groups.
Note that backpropagating one more slice would result in 114 terms across 12 groups.
The remaining circuit after backpropagation looks as follows:

Output of the previous code cell

Далі ми вкажемо ту саму задачу з такими ж обмеженнями на розмір вихідної спостережуваної величини. Однак цього разу ми виділимо бюджет похибки для кожного зрізу за допомогою функції setup_budget. Терми Паулі з малими коефіцієнтами будуть усічені з кожного зрізу, поки не буде заповнено бюджет похибки, а залишковий бюджет буде додано до бюджету наступного зрізу. Зауважте, що в цьому випадку перетворення через зворотне поширення є приблизним, оскільки деякі з термів в операторі усічені.

Щоб увімкнути це усічення, нам потрібно налаштувати наш бюджет похибки таким чином:

truncation_error_budget = setup_budget(max_error_per_slice=0.005)

Зауважте, що виділивши 5e-3 похибки на зріз для усічення, ми можемо видалити ще 1 зріз з ланцюга, залишаючись у межах початкового бюджету восьми комутуючих груп Паулі у спостережуваній величині. За замовчуванням, backpropagate використовує L1-норму усічених коефіцієнтів для обмеження загальної похибки, що виникає від усічення. Для інших варіантів зверніться до практичного посібника щодо вказівки p_norm.

У цьому конкретному прикладі, де ми виконали зворотне поширення семи зрізів, загальна похибка усічення не повинна перевищувати (5e-3 похибки/зріз) * (7 зрізів) = 3.5e-2. Для подальшого обговорення розподілу бюджету похибки по Ваших зрізах ознайомтеся з цим практичним посібником.

# Run the same experiment but truncate observable terms with small coefficients
bp_obs_trunc, remaining_slices_trunc, metadata = backpropagate(
    observable,
    slices,
    operator_budget=op_budget,
    truncation_error_budget=truncation_error_budget,
)

# Recombine the slices remaining after backpropagation
bp_circuit_trunc = combine_slices(
    remaining_slices_trunc, include_barriers=False
)

print(f"Backpropagated {metadata.num_backpropagated_slices} slices.")
print(
    f"New observable has {len(bp_obs_trunc.paulis)} terms, which can be combined into {len(bp_obs_trunc.group_commuting(qubit_wise=True))} groups.\n"
    f"After truncation, the error in our observable is bounded by {metadata.accumulated_error(0):.3e}"
)
print(
    f"Note that backpropagating one more slice would result in {metadata.backpropagation_history[-1].num_paulis[0]} terms "
    f"across {metadata.backpropagation_history[-1].num_qwc_groups} groups."
)
print("The remaining circuit after backpropagation looks as follows:")
bp_circuit_trunc.draw("mpl", scale=0.6)
Backpropagated 7 slices.
New observable has 82 terms, which can be combined into 8 groups.
After truncation, the error in our observable is bounded by 3.266e-02
Note that backpropagating one more slice would result in 114 terms across 12 groups.
The remaining circuit after backpropagation looks as follows:

Output of the previous code cell

Ми зауважуємо, що усічення дозволяє нам виконувати зворотне поширення далі без збільшення кількості комутуючих груп у спостережуваній величині.

Тепер, коли ми маємо наш зменшений анзац та розширені спостережувані величини, ми можемо транспілювати наші експерименти до бекенду.​

Тут ми використаємо 127-кубітний квантовий комп'ютер IBM® для демонстрації того, як транспілювати на бекенд QPU.

service = QiskitRuntimeService()
backend = service.least_busy(
    operational=True, simulator=False, min_num_qubits=127
)
pm = generate_preset_pass_manager(backend=backend, optimization_level=1)

# Transpile original experiment
circuit_isa = pm.run(circuit)
observable_isa = observable.apply_layout(circuit_isa.layout)

# Transpile backpropagated experiment
bp_circuit_isa = pm.run(bp_circuit)
bp_obs_isa = bp_obs.apply_layout(bp_circuit_isa.layout)

# Transpile the backpropagated experiment with truncated observable terms
bp_circuit_trunc_isa = pm.run(bp_circuit_trunc)
bp_obs_trunc_isa = bp_obs_trunc.apply_layout(bp_circuit_trunc_isa.layout)

Ми створюємо Примітивний уніфікований блок (PUB) для кожного з трьох випадків.

pub = (circuit_isa, observable_isa)
bp_pub = (bp_circuit_isa, bp_obs_isa)
bp_trunc_pub = (bp_circuit_trunc_isa, bp_obs_trunc_isa)

Крок 3: Виконання за допомогою примітивів Qiskit​

Обчисліть значення очікування​

Нарешті, ми можемо запустити експерименти зі зворотним поширенням та порівняти їх з повним експериментом, використовуючи безшумний StatevectorEstimator.

ideal_estimator = Estimator()

# Run the experiments using Estimator primitive to obtain the exact outcome
result_exact = (
    ideal_estimator.run([(circuit, observable)]).result()[0].data.evs.item()
)
print(f"Exact expectation value: {result_exact}")
Exact expectation value: 0.8871244838989416

Ми використаємо resilience_level = 2 для цього прикладу.

options = EstimatorOptions()
options.default_precision = 0.011
options.resilience_level = 2

estimator = EstimatorV2(mode=backend, options=options)
job = estimator.run([pub, bp_pub, bp_trunc_pub])

Крок 4: Постобробка та повернення результату до бажаного класичного формату​

result_no_bp = job.result()[0].data.evs.item()
result_bp = job.result()[1].data.evs.item()
result_bp_trunc = job.result()[2].data.evs.item()

std_no_bp = job.result()[0].data.stds.item()
std_bp = job.result()[1].data.stds.item()
std_bp_trunc = job.result()[2].data.stds.item()
print(
    f"Expectation value without backpropagation: {result_no_bp} ± {std_no_bp}"
)
print(f"Backpropagated expectation value: {result_bp} ± {std_bp}")
print(
    f"Backpropagated expectation value with truncation: {result_bp_trunc} ± {std_bp_trunc}"
)
Expectation value without backpropagation: 0.8033194665993642
Backpropagated expectation value: 0.8599808781259016
Backpropagated expectation value with truncation: 0.8868736004169483
methods = [
    "No backpropagation",
    "Backpropagation",
    "Backpropagation w/ truncation",
]
values = [result_no_bp, result_bp, result_bp_trunc]
stds = [std_no_bp, std_bp, std_bp_trunc]

ax = plt.gca()
plt.bar(methods, values, color="#a56eff", width=0.4, edgecolor="#8a3ffc")
plt.axhline(result_exact)
ax.set_ylim([0.6, 0.92])
plt.text(0.2, 0.895, "Exact result")
ax.set_ylabel(r"$M_Z$", fontsize=12)
Text(0, 0.5, '$M_Z$')

Output of the previous code cell

Частина B: Масштабування!​

Тепер використаємо зворотне поширення операторів для вивчення динаміки гамільтоніана 50-кубітного спінового ланцюга Гейзенберга.

Крок 1: Відображення класичних вхідних даних на квантову задачу​

Ми розглядаємо 50-кубітний гамільтоніан H^XYZ\hat{\mathcal{H}}_{XYZ} для масштабованої задачі з тими самими значеннями коефіцієнтів JJ та hh, що й у малому прикладі. Спостережуване MZ=1N∑i=1N⟨Zi⟩M_Z = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \langle Z_i \rangle також таке саме, як і раніше. Ця задача виходить за межі класичного моделювання методом грубої сили.

num_qubits = 50
layout = [(i - 1, i) for i in range(1, num_qubits)]

# Instantiate a CouplingMap object
coupling_map = CouplingMap(layout)
graphviz_draw(coupling_map.graph, method="circo")

Output of the previous code cell

hamiltonian = generate_xyz_hamiltonian(
    coupling_map,
    coupling_constants=(np.pi / 8, np.pi / 4, np.pi / 2),
    ext_magnetic_field=(np.pi / 3, np.pi / 6, np.pi / 9),
)
print(hamiltonian)
SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXX', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYY', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIXXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIYYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'XXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'YYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIX', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIY', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IXIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IYIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'XIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'YIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j,
 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j,
 1.57079633+0.j, 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j,
 0.39269908+0.j, 0.78539816+0.j, 1.57079633+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j,
 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j,
 0.52359878+0.j, 0.34906585+0.j, 1.04719755+0.j, 0.52359878+0.j,
 0.34906585+0.j])
observable = SparsePauliOp.from_sparse_list(
    [("Z", [i], 1 / num_qubits) for i in range(num_qubits)],
    num_qubits,
)
observable
SparsePauliOp(['IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZ', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZI', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IIZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'IZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII', 'ZIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII'],
              coeffs=[0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j, 0.02+0.j,
 0.02+0.j])

Для цієї масштабованої задачі ми розглядаємо час еволюції як 0.20.2 з 44 кроками Троттера. Задача вибрана так, що вона виходить за межі класичного моделювання методом грубої сили, але може бути змодельована методом тензорних мереж. Це дозволяє нам перевірити результат, отриманий через зворотне поширення на квантовому комп'ютері, з ідеальним результатом.

Ідеальне значення очікування для цієї задачі, отримане за допомогою моделювання тензорними мережами, становить ≃0.89\simeq 0.89.

circuit = generate_time_evolution_circuit(
    hamiltonian,
    time=0.2,
    synthesis=LieTrotter(reps=4),
)
circuit.draw("mpl", style="iqp", fold=-1, scale=0.6)

Output of the previous code cell

Крок 2: Оптимізація задачі для виконання на квантовому обладнанні​

slices = slice_by_gate_types(circuit)
print(f"Separated the circuit into {len(slices)} slices.")
Separated the circuit into 36 slices.

Ми вказуємо, що max_error_per_slice має бути 0.005, як і раніше. Однак, оскільки кількість зрізів для цієї великомасштабної задачі набагато більша, ніж для малої задачі, дозволяючи похибку 0.005 на зріз, можна отримати велику загальну похибку зворотного поширення. Ми можемо обмежити це, вказавши max_error_total, який обмежує загальну похибку зворотного поширення, і встановлюємо його значення рівним 0.03 (що приблизно таке саме, як у малому прикладі).

Для цього великомасштабного прикладу ми дозволяємо вище значення для кількості комутуючих груп і встановлюємо його рівним 15.

op_budget = OperatorBudget(max_qwc_groups=15)
truncation_error_budget = setup_budget(
    max_error_total=0.03, max_error_per_slice=0.005
)

Спочатку отримаємо схему і спостережуване після зворотного поширення без жодного усічення.

bp_obs, remaining_slices, metadata = backpropagate(
    observable, slices, operator_budget=op_budget
)
bp_circuit = combine_slices(remaining_slices)

print(f"Backpropagated {metadata.num_backpropagated_slices} slices.")
print(
    f"New observable has {len(bp_obs.paulis)} terms, which can be combined into {len(bp_obs.group_commuting(qubit_wise=True))} groups."
)
print(
    f"Note that backpropagating one more slice would result in {metadata.backpropagation_history[-1].num_paulis[0]} terms "
    f"across {metadata.backpropagation_history[-1].num_qwc_groups} groups."
)
print("The remaining circuit after backpropagation looks as follows:")
bp_circuit.draw("mpl", fold=-1, scale=0.6)
Backpropagated 7 slices.
New observable has 634 terms, which can be combined into 12 groups.
Note that backpropagating one more slice would result in 1246 terms across 27 groups.
The remaining circuit after backpropagation looks as follows:

Output of the previous code cell

Тепер, дозволяючи усічення, ми отримуємо:

bp_obs_trunc, remaining_slices_trunc, metadata = backpropagate(
    observable,
    slices,
    operator_budget=op_budget,
    truncation_error_budget=truncation_error_budget,
)

# Recombine the slices remaining after backpropagation
bp_circuit_trunc = combine_slices(
    remaining_slices_trunc, include_barriers=False
)

print(f"Backpropagated {metadata.num_backpropagated_slices} slices.")
print(
    f"New observable has {len(bp_obs_trunc.paulis)} terms, which can be combined into {len(bp_obs_trunc.group_commuting(qubit_wise=True))} groups.\n"
    f"After truncation, the error in our observable is bounded by {metadata.accumulated_error(0):.3e}"
)
print(
    f"Note that backpropagating one more slice would result in {metadata.backpropagation_history[-1].num_paulis[0]} terms "
    f"across {metadata.backpropagation_history[-1].num_qwc_groups} groups."
)
print("The remaining circuit after backpropagation looks as follows:")
bp_circuit_trunc.draw("mpl", fold=-1, scale=0.6)
Backpropagated 10 slices.
New observable has 646 terms, which can be combined into 14 groups.
After truncation, the error in our observable is bounded by 2.998e-02
Note that backpropagating one more slice would result in 1226 terms across 29 groups.
The remaining circuit after backpropagation looks as follows:

Output of the previous code cell

Ми зазначаємо, що дозвіл на усічення призводить до зворотного поширення ще трьох зрізів. Ми можемо перевірити 2-кубітну глибину оригінальної схеми, схеми після зворотного поширення та схеми після зворотного поширення з усіченням після транспіляції.

# Transpile original experiment
circuit_isa = pm.run(circuit)
observable_isa = observable.apply_layout(circuit_isa.layout)

# Transpile the backpropagated experiment
bp_circuit_isa = pm.run(bp_circuit)
bp_obs_isa = bp_obs_trunc.apply_layout(bp_circuit_isa.layout)

# Transpile the backpropagated experiment with truncated observable terms
bp_circuit_trunc_isa = pm.run(bp_circuit_trunc)
bp_obs_trunc_isa = bp_obs_trunc.apply_layout(bp_circuit_trunc_isa.layout)
print(
    f"2-qubit depth of original circuit: {circuit_isa.depth(lambda x:x.operation.num_qubits==2)}"
)
print(
    f"2-qubit depth of backpropagated circuit: {bp_circuit_isa.depth(lambda x:x.operation.num_qubits==2)}"
)
print(
    f"2-qubit depth of backpropagated circuit with truncation: {bp_circuit_trunc_isa.depth(lambda x:x.operation.num_qubits==2)}"
)
2-qubit depth of original circuit: 48
2-qubit depth of backpropagated circuit: 40
2-qubit depth of backpropagated circuit with truncation: 36

Крок 3: Виконання з використанням примітивів Qiskit​

pubs = [
    (circuit_isa, observable_isa),
    (bp_circuit_isa, bp_obs_isa),
    (bp_circuit_trunc_isa, bp_obs_trunc_isa),
]
options = EstimatorOptions()
options.default_precision = 0.01
options.resilience_level = 2
options.resilience.zne.noise_factors = [1, 1.2, 1.4]
options.resilience.zne.extrapolator = ["linear"]

estimator = EstimatorV2(mode=backend, options=options)
job = estimator.run(pubs)

Крок 4: Постобробка і повернення результату у бажаному класичному форматі​

result_no_bp = job.result()[0].data.evs.item()
result_bp = job.result()[1].data.evs.item()
result_bp_trunc = job.result()[2].data.evs.item()
print(f"Expectation value without backpropagation: {result_no_bp}")
print(f"Backpropagated expectation value: {result_bp}")
print(f"Backpropagated expectation value with truncation: {result_bp_trunc}")
Expectation value without backpropagation: 0.7887194658035515
Backpropagated expectation value: 0.9532818300978584
Backpropagated expectation value with truncation: 0.8913400398926913
methods = [
    "No backpropagation",
    "Backpropagation",
    "Backpropagation w/ truncation",
]
values = [result_no_bp, result_bp, result_bp_trunc]

ax = plt.gca()
plt.bar(methods, values, color="#a56eff", width=0.4, edgecolor="#8a3ffc")
plt.axhline(0.89)
ax.set_ylim([0.6, 0.98])
plt.text(0.2, 0.895, "Exact result")
ax.set_ylabel(r"$M_Z$", fontsize=12)
Text(0, 0.5, '$M_Z$')

Output of the previous code cell

Опитування щодо навчального посібника​

Будь ласка, пройдіть це коротке опитування, щоб надати відгук про цей навчальний посібник. Ваші думки допоможуть нам покращити наші пропозиції контенту та досвід користувачів.

Link to survey